Аксиоматика теории множеств

Страница 3

(пересечение).

А к с и о м а В3. X Z u (u Z u X) (дополнение).

А к с и о м а В4. X Z u (u Z v (X)) (область

определения).

А к с и о м а В5. X Z u v ( Z u X).

А к с и о м а В6. X Z u v w ( Z X).

А к с и о м а В7. X Z u v w ( Z X).

С помощью аксиом В2—В4 можно доказать

X Y 1Z u (u Z u X & u Y),

X 1Zu (u Z u x),

X 1Zu (u Z v ( X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.

Определения

u (u X ∩ Y u X & u Y) (пересечение классов Х и Y).

u (u u X) (дополнение к классу X).

u (u D (X) v ( X)) (об­ласть определения класса X).

(объединение классов Х и Y).

V = (универсальный класс).

X − Y = X ∩

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, перемен­ные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую фор­мулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)

Zx1 …xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только та­ких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая та­кая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x W), что в свою оче­редь эквивалентно формуле x (z (z x z Yi) & x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфор­мулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = X & u X), последнее же эквивалентно u (z (z u z X) & u X). Доказа­тельство проведем теперь индук­цией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (за­писанную с ограниченными пере­менными для множеств).