Аксиоматика теории множеств

Страница 4

1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W1 такой, что

xixj (W1 xi xj).

Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что

xixj (W2 xj xi),

и тогда, в силу

XZ u v ( Z X),

существует класс W3 такой, что

xixj (W3 xj xi).

Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что

xixj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Тогда, заменив в

XZ v1…vkuw ( Z X)

X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что

x1… xi-1xixj (Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Далее, на основании

XZ v1…vmx1…xn (

ZX)

там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что

x1 … xi xi+1 … xj ( Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Наконец, применяя

XZ v1…vmx1…xn ( Z X)

(1)

там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

x1…xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Для остающегося случая xi Yi теорема следует из (1) и

XZ x v1…vm ( Z x X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что φ со­держит s логических связок и кванторов.

(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x1…xn ( W ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).