Аксиоматика теории множеств
Страница 5
Теперь остается положить Z = .
(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z1 и Z2 такие, что
x1…
xn (
Z1
ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и
x1…
xn (
Z2
θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Искомым классом Z в этом случае будет класс .
(c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
x1…
xn
x (
W
ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Применим сперва
X
Z
x1 …
xn (
Z
y (
X)).
при X = и получим класс Z1 такой, что
x1 …
xn (
Z1
x
ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Теперь положим окончательно Z = , замечая, что
x ψ эквивалентно
x
ψ.
Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула u
v (X =
& u
Y1 & v
Y2). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов,
Z
x (x
Z
u
v (x =
& u
Y1 & v
Y2)), а на основании аксиомы объемности,
1Z
x (x
Z
u
v (x =
& u
Y1 & v
Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву
:
Определение. x (x
Y1
Y2
u
v (x =
& u
Y1 & v
Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).
Определения.
X2 обозначает X X (в частности, V2 обозначает класс всех упорядоченных пар).
…………………………………………………………………………………………………
Xn обозначает Xn-1 X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок).
Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение).
2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,
1Z
x (x
Z
x
Y). Таким образом, существует классZ, элементами которого являются все подмножества класса Y.
Определение. x (x
P (Y)
x
Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.)
3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X
v & v
Y).