Аксиоматика теории множеств

Страница 6

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объем­ности, 1Zx (x Z v (x v & v Y)), т.е. существует един­ственный класс Z, элементами которого являются все элементы элемен­тов класса Y и только они.

Определение. x (x (Y) v (x v & v Y)). ((Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть φ (X) есть u (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x Z u (x = )).

Определение. x (x I u (x = )). (Отношение тож­дества.)

Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)

1W( W Vn & x1…xn ( W

φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1…xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его един­ственность вытекает из аксиомы объемности.

Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок , удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. u (u φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) x1…xn (u = & φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим u (u φ (x, Y1, …, Ym) φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).

Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим ( Y) сокращенно через , тогда V2 & x1x2( Y Y). Назовем обратным отношением класса Y.

2. Пусть φ есть v ( Y). Обозначим через R(Y) выражение (v ( Y)). Тогда u (u R(Y) v ( Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно, R(Y) = D().

Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных клас­сов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.