Аксиоматика теории множеств
Страница 6
По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1Z
x (x
Z
v (x
v & v
Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.
Определение. x (x
(Y)
v (x
v & v
Y)). (
(Y): объединение всех элементов класса Y)
4. Пусть φ (X) есть u (X =
). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что
x (x
Z
u (x =
)).
Определение. x (x
I
u (x =
)). (Отношение тождества.)
Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)
1W( W
Vn &
x1…
xn (
W
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1…
xn (
Z
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности.
Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок
, удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е.
u (u
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)
x1…
xn (u =
& φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим
u (u
φ (x, Y1, …, Ym)
φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {
| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).
Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим
(
Y) сокращенно через
, тогда
V2 &
x1
x2(
Y
Y). Назовем
обратным отношением класса Y.
2. Пусть φ есть v (
Y). Обозначим через R(Y) выражение
(
v (
Y)). Тогда
u (u
R(Y)
v (
Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно,
R(Y) = D(
).
Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.