Аксиоматика теории множеств

Страница 9

М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого мно­жества х непустых и попарно непересекающихся множеств, сущест­вует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

u (u x u ≠ 0 & v (v x & v ≠ u v ∩ u = 0))

yu (u x 1w (w u ∩ y)).

П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое мно­жество может быть вполне упорядочено. x y (y We x).

Т р и х о т о м и я (Trich): xy (x y y x).

Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном мно­жестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.

xy ((y Part x) & u (u x & y Tot u v (v x &w (w u w =

= v y))) v (v x &w (w x y))).

Доказательство.

1. (W. O.) Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W. O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа α и β, что х α и y β. Но так как α β или β α, то либо x y, либо y x.

2. Trich (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число α, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа α, и вполне упо­рядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.

3. (W. O.) Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество (х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и (х).)

4. Mult AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u {и}. Пусть х1 —область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основа­нии Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ≠ u и u х, то и {и} х1 и у содержит и притом единственный элемент из и {и}. Функция f‘ u = v является искомой выбираю­щей функцией для х.

5. АС Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое мно­жество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань. На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выпол­нялось F‘0 = b и F‘α = f‘u для любого α, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ α относительно упорядочения у, что v х и v F‘‘ α. Пусть β есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v мно­жества F‘‘ β относительно упорядочения v, принадлежащих x и не при­надлежащих F‘‘ β. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однознач­ной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством мно­жества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = β 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если α <0 γ <0 β, то g‘α, g‘γ y. Поэтому множество g‘‘ β является y-цепью в x. Согласно условию, и x существует верхняя грань w множества g‘‘ β. Так как множество верхних граней множества F‘‘ β (= g‘‘ β), не содержащихся в g‘‘ β, пусто, то w g‘‘ β, и, следовательно, w является единственной верхней гранью множества g‘‘ β (ибо всякое множество может содер­жать в себе не более одной своей верхней грани). Отсюда следует, что w есть максимальный относительно упорядочения y элемент множества х. (Действительно, если y и zх, то z должно быть верхней гранью g‘‘ β, что невозможно.)