Алгебра Дж. Буля и ее применение в теории и практике информатики

Алгебра Дж. Буля и ее применение в теории и практике информатики

Информация, с которой имеют дело различного рода автома­тизированные информационные системы, обычно называется дан­ными., а сами такие системы — автоматизированными системами обработки данных (АСОД). Различают исходные (входные), про­межуточные и выходные данные.

Данные разбиваются на отдельные составляющие, называ­емые элементарными данными или элементами данных. Употреб­ляются элементы данных различных типов. Тип данных (элемен­тарных) зависит от значений, которые эти данные могут принимать.

В современной безбумажной информатике среди различных типов элементарных данных наиболее употребительными явля­ются целые и вещественные числа, слова (в некотором подалфавите байтового алфавита) и так называемые булевы величины. Первые два типа величин нуждаются в пояснении только в связи с конкретными особенностями их представления в современ­ных ЭВМ.

Прежде всего различают двоичное и двоично-десятичное пред­ставления чисел. В двоичном представлении используется двоич­ная система счисления с фиксированным числом двоичных раз­рядов (чаще всего 32 или, для малых ЭВМ, 16 разрядов, включая разряд для представления знака числа). Если нулем обозначать плюс, а единицей — минус, то 00001010 означает целое число +(23+2l)= + l0, а 10001100— число— (23 + 22) = —12 (для простоты взято 8-разрядное представление). Заметим, что знак числа в машинном представлении часто оказывается удобным ставить не в начале, а в конце числа.

В случае вещественных чисел (а фактически, с учетом огра­ниченной разрядности, дробных двоичных чисел) употребляются две формы представления: с фиксированной и с плавающей за­пятой. В первом случае просто заранее уславливаются о месте нахождения занятой, не указывая ее фактически в коде числа. Например, если условиться, что запятая стоит между 3-м и 4-м разрядами справа, то код 00001010 будет означать число 00001,010= (1 + 0 • 2-1 + 1 • 2-2 + 0 • 2-3) = 1,25. Во втором слу­чае код числа разбивается на два кода в соответствии с пред­ставлением числа в виде х = а • 2b. При этом число а (со зна­ком) называется мантиссой, а число b (со знаком) — характеристи­кой числа х. О положении кода характеристики и мантиссы (вместе с их знаками) в общем коде числа также устанавлива­ются заранее.

Для экономии числа разрядов в характеристике b ее часто представляют в виде b = 2kb1, где k — фиксированная константа (обычно k =2). Вводя еще одну константу m и полагая b = 2kb2 — m, можно избежать также использования в коде харак­теристики знака (при малых b2 > 0 число b отрицательно, а при больших — положительно).

В двоично-десятичном представлении обычные десятичные цифры (а также запятая и знак) кодируются двоичными циф­рами. При этом для экономии места часто используется так на­зываемый упакованный код, когда с помощью одного байта ко­дируется не одна, а две десятичные цифры. Подобное представ­ление позволяет в принципе кодировать числа любой значности. На практике обычно все же ограничивают эту значность, хотя и столь большими пределами, что можно считать их неограни­ченными.

Тип данных «произвольное слово во входном алфавите» не нуждается в специальных пояснениях. Единственное условие — необходимость различать границы отдельных слов. Это достига­ется использованием специальных ограничителей и указателей длины слов.

Тип булева переменная присваивается элементарным данным, способным принимать лишь два значения: «истина» (и) и «ложь» (л). Для представления булевых величин обычно исполь­зуется двоичный алфавит с условием и = 1, p = 0.

Как известно, моделью в математике принято называть любое множество объектов, на которых определены те или иные преди­каты. Под предикатом здесь и далее понимается функция у = f(xi, ., xn), аргументы (xi, ., xn) которой принадлежат данному множеству М, а значение (у) может являться либо истиной, либо ложью. Иными словами, предикат представляет собой переменное (зависящее от параметров (Xi, ., Хn} выска­зывание. Оно описывает некоторое свойство, которым может обладать или не обладать набор элементов (Xi, ., Xn) множе­ства М.

Число п элементов этого набора может быть любым. При л = 2 возникает особо распространенный тип предиката, который носит наименование бинарного отношения или просто отноше­ния. Наиболее употребительными видами отношений являются отношения равенства (=) и неравенства (¹). Эти отношения естественно вводятся для элементарных данных любого дан­ного типа. Тем самым соответствующий тип данных превращает­ся в модель.

Применительно к числам (целым или вещественным) естест­венным образом вводятся также отношения порядка >, <, >, £, ³. Тем самым для соответствующих типов данных определяются более богатые модели.

Любое множество М, как известно, превращается в алгебру, если на нем задано некоторое конечное множество операций. Под операцией понимается функция у = f (Xi, . , Хп), аргументы н значение которой являются элементами множества М. При л = 1 операция называется унарной, а при п = 2 — бинарной. Наиболее распространенными являются бинарные операции.

Для целых чисел естественным образом вводятся бинарные операции сложения, вычитания и умножения, а также унарная операция перемены знака числа. В случае вещественных чисел к ним добавляется бинарная операция деления и (если необходимо) унарная операция взятия обратной величины. Разумеется. при необходимости могут быть введены и другие операции.

Особое место в машинной информатике занимает булева алгебра, вводимая на множестве величин типа булевых. Ее основу составляют две бинарные операции: конъ­юнкция («и»), дизъюнкция («или») и одна унарная операция: отрицание («не»). Конъюнкция обозначается символом / и за­дается правилами 0 / 0 = 0, 0 / 1=0, 1 / 0 = 0 , 1 / 1=1. Для дизъюнкции используются символ V и правила 0 V 0 = 0, 0 V 1 == 1, 1 V 0=1, 1 V 1 = 1. Наконец, отрицание ù меняет значение булевой величины на противоположное: ù 0=1, ù 1=0. Последовательность выполнения операций производится в по­рядке убывания приоритетов от ù к / и далее к V (если спе­циальной расстановкой скобок не оговорено противное). Напри­мер, порядок действий в формуле ù a / b / c /ù d соответству­ет прямо указанному скобками порядку:

((ù a) / b) V (с / ù a)).

В принципе могут быть введены и другие операции, однако оказывается, что любую такую операцию можно выразить в виде формулы, использующей только конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Таким образом, введенный набор операций является для булевой алгебры универсальным.

Поскольку любая алфавитная (буквенно-цифровая) информа­ция может быть закодирована в двоичной форме, то подобным образом могут быть закодированы условия и решения задач ил любой области знаний. Если число таких задач конечно (хо­тя, может быть, и очень велико), то существуют максимальная длина т кода условий этих задач и максимальная длина n кода nх решений. В таком случае решения всех данных задач (в двоичном коде) могут быть получены из их условий с по­мощью некоторой системы булевых функций yi=fi(xi, х2, . ., xm) (i == 1, ., n). В свою очередь все эти функции могут быть выражены через элементарные булевы операции конъюнк­ции, дизъюнкции и отрицания.

Существуют различные способы представления булевых ве­личин (двоичных цифр) в виде тех или иных физических (обыч­но электрических) сигналов (высокое и низкое напряжение, им­пульсы тока разной полярности и т. п.).

Выбрав форму представления (двоичных) сигналов, можно построить элементарные устройства, называемые обычно логиче­скими вентилями (или логическими элементами), которые реали­зуют элементарные булевы операции. Иными словами, выходные

сигналы этих устройств представляют собой элементарные буле­вы функции (результат выполнения элементарных булевых опе­раций) от входных сигналов, как это показано на рис. 1.

Имея запас таких элементов, можно строить более сложные

х