Собственные значения

Страница 7

{**********************************************************************}

Программа определение всех собственных значений произвольной матрицы размерности 6х5. Используются подпрограммы НSВС и АТЕIG из пакета программ для научных исследований фирмы IBM

{**********************************************************************}

DIMENSION A(6,6),RR(6),RI(6),IANA(6)

READ(5,100)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)

WRITE(6,104)

104 FORMAT(///lX,’THE ORIGINAL MATRIX IS AS FOLLOWS’)

WRITE(6,103)

103 FORMAT(1X,65(-'--'))

WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)

WRITE(6,103)

101FORMAT(6(1X,F10.5))

100 FORMAT(6F10.5)

CALL HSBG(6,A,6)

WRITE(6,105)

105 FORMAT(///1X,'THE MATRIX W HESSENBUR5 FORM IS') WRITE(6,103)

WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)

WRITE(6,103)

CALL ATEIG(6,A,RR,RI,IANA,6)

WRITE(6,106)

106FORHAT(///1X,'THE EIGENVALUES ARE AS FOLLOUS')

WRITE(6,107)

107 FORMAT (1X, 23(‘-‘),/,4X,’REAL',12X,’IMAG’,/,23(‘-‘))

WRITE(6,102)(RR(I),PKI),I=1,6)

WRITE(6,108)

108 FORMAT(1X,23(‘-‘))

FORMAT<2(2X,F10.5)»

STOP

END

Результат получаем в виде

Исходная матрица имеет вид

2.30000

4.30000

5.60000

3.20000

1,40000

2.20000

1.40000

2.40000

5.70000

8.40000

3.40000

5.20000

2.50000

6.50000

4.20000

7.10000

4.70000

9.30000

3.80000

5.70000

2.90000

1.60000

2.50000

7.90000

2.40000

5.40000

3.70000

6.20000

3.90000

1.80000

1.80000

1.70000

3.90000

4.60000

5.70000

5.90000

Матрица в форме Гессенберга.

-1.13162

3.20402 -0,

-0.05631

3.88246

1.40000

2.20000

-0.75823

0.07468 0,

0.48742

6.97388

5.37А35

10.36283

0.

1.13783 -2,

-2.63803

10.18618

7.15297

17.06242

0.

0.

3.35891

7. 50550

7.09754

13.92154

0.

0.

0.

13.36279

10.58947

16.78421

0.

0.

0.

0.

5.70000

5.90000

Собственные значения

-----------------------------------

Действит. Миним.

-----------------------------------

25.52757

0.

-5.63130

0.

0.88433

3.44455

0.88433

-3.44455

-0.68247

1.56596

-0.68247

-1.56596

7. ВЫБОР АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Выбор подходящего алгоритма для решения той или иной за­дачи на собственные значения определяется типом собственных значений, типом матрицы и числом искомых собственных зна­чений. Чем сложнее задача, тем меньше число алгоритмов, из которых можно выбирать. Таблица 1 позволяет облегчить этот выбор. Обычно пакеты математического обеспечения ЭВМ со­держат подпрограммы, в которых используются все эти алгорит­мы или некоторые из них. Одним из эффективных способов ис­пользования имеющегося математического обеспечения является одновременное применение двух подпрограмм, позволяющее совместить их лучшие качества. Например, имея матрицу общего вида, можно методом Хаусхолдера свести ее к виду Гессенберга, а затем с помощью алгоритма QR найти собственные значения. При этом будут использованы как быстрота, обеспечиваемая ме­тодом Хаусхолдера, так и универсальность алгоритма QR.

Таблица 1 Выбор алгоритма решения задачи на собственные значения

Название алгоритма  

Применяет­ся для  

Результат  

Рекомендуется для

отыскания собственных значений

Примечание
 

Наибольшего или наименьшего

Всех <=6

Всех >=6

Определитель (итерация)

Матриц общего вида

Собственные значения

 

*

 

Требует нахождения корней полинома общего вида

Итерация

(итерация)  

То же  

Собственные значения и собственные векторы

*  

*  

*  

Обеспечивает наилучшую точность для наибольшего и наименьшего собственных значений

Метод Якоби (преобразо­вание)

Симмет­ричных матриц

Диагональ­ная форма матрицы

 

*  

*  

Теоретически требует бесконечного числа шагов

Метод Гивенса

(преобразо­вание)  

То же  

Трехдииональльная форма матрицы

 

*  

*  

Требует знания корней простого полинома

Несиммет­ричных матриц

Форма Гессенберга

 

*  

*  

Требует применения дополнительного метода

Метод Хаусхолдера (преобразова­ние)

Симмет­ричных матриц

Трехдиаго­нальная форма матрицы

 

*  

*  

Требует знания корней простого полинома

Метод Хаусхолдера (преобразова­ние)

Несиммет­ричных матриц

Форма Гессенберга

 

*

*

Требует применения дополнительного метода

Метод LR (преобразо­вание)

Матриц общего вида

Квазидиаго­нальная форма матрицы

 

*  

*  

Бывает неустойчив

Метод QR (преобразова­ние)

То же  

То же  

  

*  

*  

Лучший метод, облада­ющий наибольшей общностью