Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка

Страница 3

(18)

где

Преимуществом данного метода является его высокая скорость сходимости к точному решению. Кроме того, доказано, что он обладает свойством «квадратичного окончания», т.е. для положительно определенной матрицы можно гарантировано получить точное решение при количестве итераций . Размер требуемой памяти на каждой итерации не изменяется, т.к. не требует преобразование матрицы . В качестве критерия остановки данного итерационного процесса обычно используют соотношение

, (19)

где - заданная точность. В качестве другого критерия сходимости иногда удобнее использовать среднеквадратичную разность между решениями, полученными на соседних итерациях:

(20)

Среднеквадратичную разность необходимо контролировать при выполнении каждых k наперед заданных итераций.

Отдельно следует рассмотреть проблему выбора начального приближения . Доказывается, что при положительно определенной матрице , итерационный процесс (18) всегда сходится при любом выборе начального приближения. При решении контактных задач, когда для уточнения граничных условий в зоне предполагаемого контакта требуется большое количество решений СЛАУ вида (1), в качестве начального приближения для первого расчета используется правая часть системы (1), а для каждого последующего пересчета - решение, полученное на предыдущем. Такая схема позволяет значительно сократить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности (19) или (20) [10,11].

2 МЕТОДЫ КОМПАКТНОГО ХРАНЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ

Матрица жесткости, получающаяся при применении МКЭ, обладает симметричной структурой, что позволяет в общем случае хранить только верхнюю треугольную часть матрицы. Однако для задач с большим количеством неизвестных это так же приводит к проблеме нехватки памяти. Предлагаемый в данной работе метод, позволяет хранить только ненулевые члены матрицы жесткости. Суть его заключается в следующем.

Первоначально, с целью выявления связей каждого узла с другими, производится анализ структуры дискретизации области на КЭ. Например, для КЭ - сетки, изображенной на рис. 1, соответствующая структура связей будет иметь вид:

№ узла	1	2	3	4	5	6	7
Связи	1, 2, 5, 6, 7	1, 2, 3, 6	2, 3, 4, 6	3, 4, 5, 6, 7	1, 4, 5, 7	1, 2, 3, 4, 6, 7	1, 4, 5, 6, 7

Тогда, для хранения матрицы жесткости необходимо построчно запоминать информацию о коэффициентах, соответствующих узлам, с которыми связан данный узел. На рис. 2 приведены матрица жесткости и ее компактное представление для сетки изображенной на рис 1 [9].

Текст подпрограммы, реализующий предложенный алгоритм анализа структуры КЭ-разбиения тела, приведен в Приложении 1.

Данный способ компактного хранения матрицы жесткости позволяет легко его использовать совместно с каким-нибудь численным методом. Наиболее удобным для этой цели представляется использование вышеизложенного итерационного метода Ланцоша, так как на каждой итерации требуется только перемножать матрицу коэффициентов СЛАУ и заданный вектор. Следовательно, для использования предложенного метода компактного хранения СЛАУ необходимо построить прямое и обратное преобразование в первоначальную квадратную матрицу.

Пусть – элемент первоначальной квадратной матрицы размерностью , а - ее компактное представление. Тогда для обратного преобразования будут справедливы следующие соотношения:

, (*)

где m – количество степеней свободы (m=1,2,3).

Для прямого преобразования будут справедливы соотношения, обратные к соотношениям (*).

3 ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Для проверки предлагаемого метода компактного хранения матрицы жесткости была решена задача о контактном взаимодействии оболочечной конструкции и ложемента [12] (рис. 4).

Данная задача часто возникает на практике при транспортировке или хранении с горизонтальным расположением оси оболочечные конструкции устанавливаются на круговые опоры - ложементы. Взаимодействие подкрепленных оболочечных конструкций и ложементов осуществляется через опорные шпангоуты, протяженность которых вдоль оси оболочки соизмерима с шириной ложементов и много меньше радиуса оболочки и величины зоны контакта.

Данная задача решалась методом конечных элементов при помощи системы FORL [5]. Дискретная модель ложемента (в трехмерной постановке) представлена на Рис. 5.

При построении данной КЭ-модели было использовано 880 узлов и 2016 КЭ в форме тетраэдра. Полный размер матрицы жесткости для такой задачи составляет байт, что приблизительно равно 2,7 Мбайт оперативной памяти. Размер упакованного представления составил около 315 Кбайт.

Данная задача решалась на ЭВМ с процессором Pentium 166 и 32 МБ ОЗУ двумя способами – методом Гаусса и методом Ланцоша. Сопоставление результатов решения приведено в Таблице 1.

Таблица 1.

	Время решения (сек)
Метод Гаусса	280	2.2101	-2.4608	1.3756	-5.2501	1.7406	-2.3489
Метод Ланцоша	150	2.2137	-2.4669	1.3904	-5.2572	1.7433	-2.3883