Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия
Страница 10
Задача 28.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана 
, проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
|
|
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСК. При этом  . По свойству параллелограмма сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Поэтому из равенства  получаем |
Ответ: 
.
Задача 29.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
|
|
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСК. При этом . По свойству параллелограмма сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Поэтому из равенства получаем |
Ответ: .
Задача 30.
Решить задачу: Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час больше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый работал бы еще на 1 час в день больше, то эта работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих, и сколько часов в день они работали?
Решение:
Пусть w - число рабочих, х – число часов их работы в день. Пусть вся работа равна единице, а у – производительность (в час) каждого рабочего.
Тогда один рабочий за х часов (т.е. в день) выполняет ху единиц работы, а w рабочих за 14 дней выполнят 14wxy единиц работы. Согласно условию 14wxy = 1.
Аналогично, если рабочих стало w + 4, и они работают каждый день х + 1 час, то
10(w + 4)(x + 1)y = 1.
Для случая, когда рабочих еще на 6 человек больше (т.е. w + 10), и они работают еще на час дольше (т.е. х + 2 часа) каждый день, получаем уравнение 7(w + 10)(x + 2)y = 1.
Из системы
надо найти w, x.
Приравняв правые части первого и второго, а также первого и третьего уравнений и упростив, получим систему
Если вычесть из второго уравнения удвоенное первое, то х исчезнет, и найдем, что w = 20. Отсюда легко получается, что х = 6.
Ответ: всего было 20 рабочих; они работали 6 часов в день.
3.3. Ошибки, допущенные в задачах
1. Теорема Виета применена неверно: коэффициенты p и q взяты для неприведенного уравнения и с противоположными знаками.
2. Неправильно построен график.
3. Потеря корней путем сокращения.
4. Концы интервалов включены в ответ, хотя они не удовлетворяют данному неравенству.
5. Не сменили знак неравенства при умножении обеих его частей на отрицательное число.
6. Для получения решения системы неравенств взято не пересечение, а объединение решений каждого отдельного неравенства.
7. Не указано ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
8. Нерациональность в приведении к общему знаменателю.
9. Нигде не учтены условия, при которых были сняты знаки модуля.
10. Рассмотрены не все случаи, возникающие при снятии знаков модуля.
11. Во втором случае неправильно снят знак модуля.
12. Не указано ОДЗ: арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел.
13. При возведении в квадрат обеих частей уравнения не учтены их знаки.
14. Не учтено, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа.
15. Сделана неэквивалентная замена переменной.
16. Неправильно понят смысл слова “раньше”.
17.
17.1. Неправильно составлено уравнение, связывающее величины АС и ВС;
17.2. Не учтено, что скорость не может быть отрицательной.
18. Неправильно применена формула производительности через объем работы и время.
19. Выполнены преобразования с величинами в разных единицах измерения.
20. Неправильно применены формулы приведения.
21.
21.1. Неправильно применена теорема косинусов;
21.2. Неправильно применено основное тригонометрическое тождество;
21.3. Неправильно применена теорема синусов.
22. Неправильно сделан чертеж.
23. В формуле преобразования суммы косинусов в произведение во втором множителе cos заменили на sin.
24. Потеря корня путем сокращения.
25. Не указано ОДЗ уравнения.
26. Неправильно произведен отбор корней (в каждом из уравнений системы должна быть своя буква, а не одна n).
27. Выполнены преобразования с разными единицами измерения.
28. Неправильно применено свойство параллелограмма.
29. Перепутали формулы для медианы и биссектрисы.
30. Получили систему уравнений, не соответствующую условиям задачи.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Программа “Генератор неправильных решений”
“Генератор неправильных решений” (Wrong Solution Generator v.3.3) по заданному линейному или квадратному уравнению выдает протокол решения с допущенными в нем ошибками (или без них). Пользователю необходимо найти и отметить допущенные в решении ошибки.
Программа написана с использованием Microsoft Visual C++ 6.0/MFC 4.2.
Описание интерфейса программы:
|
|
Сменить уравнение.
Сгенерировать другое решение.
Проверить правильность ответа.
Информация о создателях.
Таким образом отмечается ошибка.
Выбрать случайные коэффициенты уравнения. |
Описание классов:
1. Класс “Задача”:
class CTask
{
public:
int nPosibleErr; // число возможных ошибок
long m_a; //
long m_b; // коэффициенты уравнения
long m_c; //
BOOL m_arErrors[8]; // массив ошибок
CTask(); // конструктор
virtual ~CTask(); // деструктор
virtual void Draw(CDC *pDC, CRect *rect);
// отображает уравнение
virtual void InitErrors()=0; // инициализирует ошибки
virtual void DrawStep(int Step, CDC *pDC, CRect *pRect)=0;
// отображает протокол решения
virtual void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect)=0;
// отображает варианты возможных ошибок
};
2. Класс “Линейное уравнение”:
class CLinTask : public CTask
{
public:
CLinTask(); // конструктор
virtual ~CLinTask(); // деструктор
void InitErrors(); // инициализирует ошибки
void Draw(CDC *pDC, CRect *rect); // отображает уравнение
void DrawStep(int Step, CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает протокол решения
void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает варианты возможных ошибок
void SetError1(); // устанавливаются конкретные ошибки
void SetError2(); // на каждом шаге решения
};
3. Класс “Квадратное уравнение”:
class CEqTask : public CTask
{
public:
long m_d; // дискриминант
double m_x1, m_x2; // корни уравнения
public:
CRect m_rectError5; //
CRect m_rectError6; // области вывода картинок
CRect m_rectError7; //
CRect m_rectError8; //
CEqTask();// конструктор
virtual ~CEqTask();// деструктор
void Draw(CDC *pDC, CRect *rect); // отображает уравнения
void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect);