Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия

Страница 2

1.3.2. Неправильно снят знак модуля: неверно использовано определение модуля;

Один из случаев: . Тогда уравнение примет вид: .

1.3.3. Перечислены не все случаи, возникающие при снятии знака модуля с выражений, стоящих в уравнении;

Т.к. в уравнении 2 знака модуля возможно 2 случая:

и .

1.3.4. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину.

Аналогично.

1.4. Иррациональные уравнения:

1.4.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ: неучтено, что выражение под знаком корня четной степени должно быть неотрицательным;

ОДЗ: .

1.4.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;

Аналогично.

1.4.3. Не учтено, что квадратный арифметический корень - неотрицательная величина, что он определен только для неотрицательных чисел;

1.4.4. При возведении уравнения в квадрат не учтены знаки обеих его частей;

1.4.5. Неэквивалентная замена переменной;

Аналогично.

1.4.6. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину.

Аналогично.

1.5. Системы уравнений:

1.5.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ (см. конкретные уравнения);

1.5.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;

Аналогично.

1.5.3. Для каждого отдельного уравнения см. ошибки в предыдущих разделах;

1.5.4. Неправильно сформирован ответ.

Аналогично системам неравенств.

2. Текстовые задачи.

2.1. Задачи на движение:

2.1.1. Неправильно введены неизвестные величины: введены неизвестные величины, с помощью которых невозможно или трудно получить ответ, или несоответствующие смыслу задачи;

2.1.2. Составлено уравнение (неравенство), связывающее неизвестные величины с заданными величинами, несоответствующее условиям задачи;

…первый из А в С прошел на 12 км меньше, чем второй из В в С…

2.1.3. При решении полученных уравнений (неравенств) допущены ошибки, рассмотренные в предыдущих разделах;

2.1.4. Отобранные решения не соответствуют смыслу задачи;

Ответ: , где - скорости.

2.1.5. Неправильно поняты термины “позже”, “раньше” и т.д.;

Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: .

2.1.6. Неправильно применены формулы средней скорости, пути и т.д.;

Находим время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: .

2.1.7. Выполнены преобразования с разными единицами измерения (км – м, ч – сек и т.д.)

…известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей стоимости 3 м зеленой и 50 см синей… … уравнение, связывающее эти стоимости: …

2.2. Задачи на работу и производительность труда:

2.2.1. Ошибки аналогичны допускаемым в задачах на движение.

3. Тригонометрия.

3.1. Тригонометрические уравнения:

3.1.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ (аналогично алгебраическим уравнениям);

3.1.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;

3.1.3. Неправильно применены формулы: в формулах приведения получили неверный знак или функцию; в преобразовании суммы или разности в произведение (или наоборот) перепутали sin и cos, или полу сумму аргументов с полу разностью, или опустили множитель ½; в формулах сложения, понижения степени аналогично;

3.1.4. Неправильное преобразование сложной функции;

3.1.5. Использование неправильной области определения или свойств функции;

3.1.6. Допущены ошибки в преобразованиях, аналогичных алгебраическим уравнениям.

3.2. Системы тригонометрических уравнений:

3.2.1. Те же ошибки, что и в предыдущем разделе, при решении каждого уравнения;

3.2.2. Неправильный отбор корней: при получении ответа не учтено, что k и n, пробегающие множество целых чисел, могут быть как различными, так и одинаковыми;

Ответ: .

3.2.3. Те же ошибки, что и при решении систем алгебраических уравнений.

4. Планиметрия.

4.1. Неправильно сделан чертеж;

Окружность на чертеже – это окружность, вписанная в сектор.

4.2. Неправильно использованы формулы, теоремы или свойства фигур и тел;

…Радиус окружности можно найти с помощью теоремы синусов: .

4.3. Не приведены величины к одной единице измерения;

Аналогично.

4.4. Ответ не соответствует смыслу задачи;

4.5. Могут быть допущены алгебраические ошибки.

1.2. Классификация по типам преобразований

A. Неправильно раскрыли скобки;

B. При переносе слагаемого в другую часть уравнения или неравенства не сменили его знак на противоположный;

C. Неправильно привели подобные;

D. Перенос переместительного закона умножения / распределительного закона умножения относительно сложения на другие действия и преобразования;

E. Ошибочное установление аналогии между объектами внешне сходными, но по сути различными;

F. Неправильный порядок действий;

G. Перепутаны степень и коэффициент;

H. Неправильно перемножены многочлены и одночлены;

I. Неправильно поделены многочлены и одночлены;

J. Неправильное разложение на множители;

K. Неправильные тождественные преобразования иррациональных выражений;

L. Арифметическая ошибка.

2. ТЕСТЫ

Алгебраические уравнения
1. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна				0
OK	1.2.6.	1.2.9.	L.	H.
2. Сумма корней уравнения равна	6	12	5		7
OK	1.3.1.	1.3.3.	1.3.2.	1.3.2
3. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения равно	2	1,5	3	-3	4,5
OK	1.2.6.	1.2.7.	H.	L.
4. Сумма корней уравнения равна	0	-4	-2	-8
OK	1.2.6.	1.2.7.	1.2.4.	B.
5. Сумма корней уравнения равна	2	4			3
OK	1.3.1.	1.3.2.	1.1.1.	1.3.3.
6. Сумма кубов действительных корней уравнения	-9	6	36	15	-1701
OK	E.	1.1.1.	E.	1.2.5.
7. Если - корень уравнения , то значение выражения равно				корней нет
OK	1.4.1.	D.	H.	L.
8. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна					1
OK	1.3.3.	L.	1.3.1.	J.
9. Произведение корней уравнения равно	-4		18		-1,5
OK	1.1.1.	1.4.3.	H.	1.2.5.
10. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения равно	-0,5	0,5	корней нет	1
OK	1.1.1.	1.2.3.	L.	1.2.1.
Текстовые
1. Автобус из A в B ехал со скоростью 50 км в час, а обратно – со скоростью 30 км в час. Найти среднюю скорость движения автобуса.	37,5	40	30	20
OK	2.1.6.	2.1.6.	2.1.6.	2.1.6.
2. Два насоса, работая вместе, наполняют бак за 15 минут. В одиночку второй насос способен наполнить бак на 40 минут быстрее первого. За сколько минут первый насос наполняет бак в одиночку?	60	20	27,5	12,5	35
OK	2.1.5.	2.1.2.	2.1.6.	2.1.2.
3. 2 кг яблок и 3 кг груш стоят вместе 180 рублей, а 4 кг яблок и 1 кг груш стоят 160 рублей. Сколько стоят 2 кг груш и 1 кг яблок?	110	100	285		299
OK	L.	2.1.6.	2.1.2.	2.1.2.
Тригонометрия
1. Результат вычисления выражения равен	2	1	0,5	0
OK	3.1.3.	3.1.3.	3.1.3.	3.1.3.
2. Результат вычисления выражения равен
OK	3.1.3.	D.	3.1.4.	3.1.3.
3. Результат вычисления выражения равен	0,1
OK	3.1.3.	C.	A.	3.1.4.
4. Результат вычисления выражения равен
OK	3.1.4.	3.1.3.	3.1.4.	3.1.4., 3.1.5.
5. Результат вычисления выражения равен	5	10
OK	3.1.3.	3.1.3	3.1.3., 3.1.5	3.1.3., 3.1.4
6. Результат вычисления выражения равен	1
OK	3.1.3.	3.1.3.	3.1.3.	L.
7. Результат вычисления выражения равен	4
OK	3.1.3.	L.	3.1.3.	3.1.5.
8. Результат вычисления выражения равен			-0,5
OK	3.1.3.	3.1.4.	3.1.3.	3.1.3.
9. Если , то значение выражения равно	-1	1	0	0,5
OK	3.1.3.	3.1.3.	3.1.3.	3.1.4.
10. Если , то значение выражения равно	0,3	0,52		0,7	0,6
OK	3.1.4.	L.	3.1.3.	3.1.3.
11. Укажите в градусах сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку		0
OK	3.1.3.	3.1.3.	1.1.1.	1.1.1.
12. Укажите в градусах сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку
OK	3.1.5.	L.	3.1.3., 3.1.4.	L.
13. Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку	4	2	1		3
OK	3.1.3.	3.1.5.	3.1.4.	3.1.4.
14. Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку	2	1	3	4	0
OK	3.1.5.	3.1.3.	3.1.3.	3.1.4.
Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку	3	2	0	4	1
OK	3.1.5.	B., 1.3.4.	1.3.4.	1.3.4.
16. Укажите в градусах сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку
OK	3.1.5.	L.	3.1.5.	3.1.5., 3.1.3.
17. Чему равно , если , , , ?
OK	3.1.3.	3.1.5.	3.1.3.	L.
18. равно
OK	3.1.3.	3.1.3.	3.1.4.	3.1.3.
19. равно
OK	3.1.3.	3.1.3.	3.1.4.	3.1.3.
Планиметрия
1. Если в треугольнике заданы , , , то синус угла равен
OK	4.2.	4.2.	4.4.	L.
2. Если длины диагоналей ромба относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12, то длина стороны ромба равна
OK	4.2.	D.	L.	L.
3. Если в окружность вписан правильный треугольник, площадь которого равна , и в треугольник вписана окружность, то площадь кольца равна
OK	4.2.	4.2.	4.2.	L.
4. Если в треугольнике угол при вершине равен , , высота, то площадь треугольника равна	8	4	32	16	3
OK	4.1.	4.2.	L.	L.
5. Если в треугольнике заданы , , , то синус угла равен
OK	3.1.5.	3.1.3.	D.	4.2.
6. Если в треугольнике заданы , , , то длина стороны равна
OK	4.2.	L.	4.2.	L.
7. Если в окружности радиуса проведена хорда, которая стягивает дугу в , то расстояние от центра окружности до данной хорды равно	13,5		13,005		4,5
OK	4.2.	1.1.7.	L.	L.
8. Если одна из диагоналей параллелограмма, длина которой равна , составляет с основанием угол , а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол , то длина второй диагонали равна	12	8	18		16
OK	4.2.	L.	L.	L.
9. Если в круге, площадь которого равна , проведена хорда длиной 3, то расстояние от центра круга до хорды равно	2	6,067	2,9	1
OK	4.2., 1.1.7.	4.2., 1.1.7.	D.	L.
10. Если в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 20, а радиус вписанной окружности – 4, то сумма длин катетов треугольника равна	28	20	24	36	26
OK	D.	L.	4.2.	L.
11. Если площадь ромба равна 18, а острый угол , то длина стороны ромба равна	6		3
OK	4.2.	4.2.	3.1.5., L.	3.1.5.
12. В прямоугольном треугольнике с катетом и медианой , проведенной к гипотенузе, расстояние между точкой и основанием высоты равно	3,5	24,5			4,5
OK	L.	4.2.	L.	L.
13. Отрезок длины 5, соединяющий боковые стороны равнобокой трапеции и параллельный ее основаниям, равным 2 и 7, делит площадь трапеции в отношении
OK	4.2.	4.2.	4.2.	L.
14. В круг радиуса 10 вписан равнобедренный треугольник с углом в . Найти его периметр.				30
OK	4.2.	4.2.	3.1.5.	L.
15. и – центры кругов радиуса 6, . Тогда площадь общей части этих кругов равна
OK	3.1.4.	4.2.	4.2.	A.
16. Если в равнобокой трапеции высота равна 14, основания равны 12 и 16, то площадь круга, описанного около трапеции, равна
OK	4.2.	4.2.	4.2.	L.
Алгебраические преобразования
1. Результат упрощения выражения имеет вид
OK	J.	E.	D.	J.
2. Результат упрощения выражения имеет вид		0
OK	D.	A., D.	D.	H.
3. Результат сокращения дроби имеет вид
OK	I.	I.	1.1.1.	1.1.1.
4. Результат упрощения выражения имеет вид
OK	E.	D., L.	E.	E.
5. Результат упрощения выражения имеет вид	1
OK	E.	E.	I.	K.
6. Результат упрощения выражения имеет вид
OK	J.	I.	I., L.	I.
7. Результат упрощения выражения имеет вид
OK	K.	I.	I., C.	L.
8. Результат упрощения выражения имеет вид
OK	I., H.	D.	E.	A.
9. Результат вычисления имеет вид
OK	K., I.	K., D.	K., I.	I., K.
10. Результат упрощения выражения имеет вид
OK	J.	I.	I.	E.