Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия

Страница 3

3. ПРОТОКОЛЫ РЕШЕНИЙ

3.1. Протоколы неверных решений

Задача 1.

Решить неравенство: .

Решение:

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

График функции - это парабола, ветви которой направлены вниз:

Нужно отметить те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:

Задача 2.

Решить неравенство: .

Решение:

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

График функции - это парабола.

Выберем те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:

Задача 3.

Решить неравенство:

Решение:

Упростим выражение, сократив на x. Получим неравенство:

Следовательно, ответ:

Задача 4.

Решить неравенство:

Решение:

Корни уравнения : График функции - это парабола, ветви которой направлены вверх.

Выберем те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:

Задача 5.

Решить неравенство:

Решение:

Домножим неравенство на –1, получим: Выделим полный квадрат: В левой части неравенства стоит неотрицательное число, а значит неравенство верно при любых значениях x, кроме случая равенства, т.е.

Запишем окончательный ответ:

Задача 6.

Решить систему неравенств:

Решение:

Решаем каждое из неравенств системы в отдельности:

1.

2.

3.

Ответ: .

Задача 7.

Решить уравнение:

Решение:

Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель:

Ответ: x = 1.

Задача 8.

Решить уравнение:

Решение:

ОДЗ: , т.к. знаменатель не должен обращаться в ноль.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

Приведем подобные и отбросим знаменатель:

Получили , но эти корни не входят в ОДЗ, поэтому ответ: решений нет.

Задача 9.

Решить уравнение: .

Решение:

Рассмотрим 4 возможных случая:

1. . В этом случае получаем уравнение . Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного уравнения.

2. . В этом случае получаем уравнение . Решение: .

3. . В этом случае получаем уравнение . Решений нет.

4. . Получаем уравнение - не удовлетворяет уравнению.

Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ: .

Задача 10.

Решить уравнение: .

Решение:

Т.к. в уравнении 2 знака модуля, возможны 2 случая:

1. . В этом случае получаем уравнение . Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного уравнения.

2. - этот случай невозможен.

Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ: .

Задача 11.

Решить уравнение: .

Решение:

Возможны 2 случая:

1. . Тогда уравнение примет вид: - корень исходного уравнения.

2. . Тогда уравнение примет вид: - корень исходного уравнения.

Ответ: .

Задача 12.

Решить уравнение: .

Решение:

ОДЗ: .

Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую: . Затем возводим в квадрат: , причем т.к. , то для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы . Получим уравнение . Найдем его корни: . Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но только один удовлетворяет дополнительному ограничению . Поэтому ответ: .