Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия
Страница 9
Рассмотрим 3 случая:
1. 
. Разделим на
, причем 
. Тогда имеем уравнение: tg x = - 1. Следовательно, 
.
2. 
, cos x = -1. Следовательно, 
.
3. 
.
Получили ответ: 
.
Задача 21.
Решить задачу: В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1 см. Хорда МВ делит вписанный угол АМС пополам. Найти радиус этой окружности.
Решение:
Отрезки 
и 
равны как хорды, стягивающие равные дуги, поэтому вычтем из первого уравнения второе и получим: 
. Значит, 
. Треугольник 
вписан в окружность, следовательно, радиус данной окружности можно найти с помощью теоремы синусов: 
. Ответ: 
.
Задача 22.
Решить задачу: В сектор радиуса 
с центральным углом 
вписан круг. Найти его радиус.
Решение:
Т.к. центры окружностей и точки касания лежат на одной прямой, то
. Рассмотрим треугольник АОН (он прямоугольный, т.к. угол 
): угол 
из равенства треуг-ков АОН и АОМ (т.к. ОН=ОМ=r, АН=АМ как отрезки касательных, проведенных из одной точки, сторона АО - общая). 
Ответ: 
.
Задача 23.
Решить уравнение: 
.
Решение:
ОДЗ:
.
Применяя формулы понижения степени, приведем это уравнение к более простому виду: 
, 
,
.
Отсюда, используя формулу преобразования суммы косинусов в произведение, получаем: 
,
,
.
Рассмотрим 2 случая:
1. 
;
2. 
, следовательно, используя вновь формулу преобразования суммы косинусов в произведение, имеем:
a) 
;
b) 
.
Таким образом, учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: 
.
Задача 24.
Решить уравнение: 
.
Решение:
ОДЗ: .
Введем новую переменную, положив t = tg x. Так как 
, то уравнение примет вид:
или 
. Число 2 является корнем полученного уравнения, поэтому это уравнение можно преобразовать следующим образом: 
. Квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней. Следовательно, уравнение имеет только один корень. Найдем корни исходного уравнения:
.
Дополнительный случай рассматривать не надо, так как .
Ответ: 
.
Задача 25.
Решить уравнение: 
.
Решение:
ОДЗ: , т.е. 
.
Преобразуем уравнение следующим образом:
.
Рассмотрим 2 случая:
1. 
; в этом случае исходное уравнение решений не имеет, т.к. данные значения не входят в ОДЗ;
2. 
; эти значения входят в ОДЗ уравнения.
Ответ: 
.
Задача 26.
Решить систему: 
Решение:
Каждое из уравнений этой системы является простейшим, поэтому нетрудно заметить, что
Решая последнюю систему, получаем
Ответ: 
.
Задача 27.
Решить задачу: Основания трапеции 5 дм и 40 см. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение:
|
|
Пусть ABCD – трапеция, точка Р – середина диагонали АС, точка К – середина диагонали BD. |
Нетрудно заметить, что точки Р и К лежат на средней линии EF трапеции. Так как ЕК – средняя линия треугольника ABD, то 
. Аналогично, 
, поскольку является средней линией треугольника АВС. Следовательно, 
.
Ответ: 5 см.