Балансовая модель
Страница 4
Очевидно,
xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , ( 16 )
xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,
т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.
Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:
x1
x2
_ : _
x = xn = S'У ( 17 )
xn+1
xn+2
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3
Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:
0.2 0.4
А' = 0.55 0.1
0.5 0.2
1.5 2.0
Таблица 3
№ отраслей потребление итого конечный валовый
№ затрат продукт выпуск
отраслей 1 2
1 100 160 260 240 500
2 275 40 315 85 400
труд 250 80 330
капиталовложе- 750 800 1550
ния
Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.
На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1,k=S3,k ):
_ _
S31 = a3·S1 = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ;
_ _
S32 = a3·S2 = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72
и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:
_ _
S41 = a4·S1 = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ;
_ _
S42 = a4·S2 = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 .
Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:
1.8 0.8
S' = 1.1 1.6
1.12 0.72
4.9 4.4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором
У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и
85
капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.
Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям
( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).
Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда
170
_ х1 1.8 0.8 1000
х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800
х3 1.12 0.72 170 600
х4 4.9 4.4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.
Задача
В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.
Таблица
Нормы расхода
Обозначения Стоимость
I II III
Сырье I 1.4 2.4 0.8 a4 5
Сырье II – 0.6 1.6 a5 12
Сырье III 2.0 1.8 2.2 a6 2
Трудоемкость 10 20 20 а7 12
Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.
Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.
_ _ 235
а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088
397
Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.
Все это удобно записать в виде произведения:
1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I
0 0.6 1.6 186 = 746 Сырье II
2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо
0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:
I II III
1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сырье I
0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сырье II
2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо
10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд
Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.
в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов: