Возможности использования элементов теории вероят-ностей и статистики на уроках математики в начальной школе

Страница 2

В последнее время разрабатывается логическая (индуктивная) теория вероятности, в которой изучается отношение между посылками и заключением в правдоподобных умозаключениях. Логическая вероятность характеризует разумную степень веры в появление некоторого события в условиях некоторой неопределенности. Логическая вероятность используется в вероятностной и индуктивной логике [4].

“Математика случая” — так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль[3].

— Случай? А зачем его изучать? — спросите вы.

Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Это явилось объективной предпосылкой для возникновения науки о случайных явлениях. Знать законы случая необходимо. Вот пример.

Во всех крупных населенных пунктах имеются станции скорой медицинской помощи. Нет возможности заранее предсказать моменты, когда потребуется оказать помощь внезапно заболевшим людям. Как много в течение заданного времени будет вызовов к таким больным? Как долго придется врачу задержаться у больного? Сколько врачей и машин необходимо иметь во время дежурства, чтобы, с одной стороны, больные не слишком долго ожидали помощи, а с другой — не наблюдалось бы слишком непродуктивного использования врачебного персонала? Мы сталкиваемся с типичной ситуацией, в которой случайными являются моменты вызовов, длительность пребывания врача у больного, длительность проезда машины от пункта “Скорой помощи” до дома больного… (Гнеденко)

Как видим, неотложная помощь зависит от многих случайных событий. È чтобы помощь была действительно неотложной, надо уметь учитывать все эти случайности.

Можно привести и более обыденные, более примитивные, если угодно, примеры. Под потолком висит лампочка — вы не знаете, когда она перегорит. Будет ли завтра снег, никому наверняка неизвестно, даже бюро погоды ошибается. Учитель не знает, сколько ошибок сделает школьник в диктанте.

Теория вероятностей — математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений, с ее помощью вычисляют вероятности наступления определенных событий [5]. Рассмотрим решения нескольких простых задач этой сложной науки.

I. 1. Как поймать случай?

Возьмите 7 одинаковых шариков от настольного тенниса. На каждом напишите номер — 1, 2, … , 7. Три из них (1, 2, 3) пометьте чернилами — это будут “черные шары”, а остальные — “белые”. Теперь возьмите мешочек или ящичек — это будет ваша “урна” — и положите в нее шары.

Начинаем опыты.

Шарики надо перемешать и вытащить один. Запишите, какого он цвета, и положите шарик обратно. Это первый опыт. Так можно делать много раз подряд. За полчаса можно провести более ста опытов.

Мы хотим предсказать, сколько раз из 100 будет вынут черный шар. Какова его доля во всех опытах? Естественно, каждый раз результат зависит от случая — может попасться черный шар, а может и белый. Но при большом числе опытов примерную долю черных шаров можно предсказать!

Каждый раз вы вынимали из урны либо первый шар, либо второй, … , ли­бо седьмой — всего семь возможных исходов каждого опыта. Шары тщательно перемешаны, на ощупь различить их нельзя, у всех одинаковые шансы быть вынутыми. Математики говорят: все семь исходов равновозможны.

Теперь понятно, что каждый шар может появиться в 1/7 части всех опытов, и чем больше раз вы вынимаете шары, тем ближе к 1/7 доля любого из семи исходов. Конечно теоретически можно допустить, что все сто раз вы вынимаете, например, первый шар. Но это совершенно исключительный случай, но мы говорим сейчас о средних результатах.

Что же можно сказать о черном цвете? Он может в каждом опыте появиться одним из трех способов, в трех исходах из семи (ведь у нас три черных шара). Эти исходы называются благоприятными для появления черного шара. Итак, всех опытов — 7, благоприятных исходов — 3, следовательно, в среднем в 3/7 всех опытов вынут черный шар. И чем больше опытов, тем ближе его доля к 3/7. Это и есть вероятность появления черного шара.

Этот пример иллюстрирует формулу классической теории вероятностей:

Вероятность события =	Число благоприятных исходов
	Число всех равновозможных исходов

Эта формула получена с помощью рассуждений. Но соответствуют ли рассуждения действительности? Формулу проверяли ученые на многих опытах, и всегда она получала подтверждение. Доля опытов, в которых событие осуществлялось, была близка к расчетной. Этой формулой пользуются, когда исходы опыта равновозможны и надо только вычислить вероятность.

Опытом или испытанием называют осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием. Например, опытом является подбрасывание монеты, а событиями — “герб” или “цифра” на верхней стороне после падения монеты. Опытами являются стрельба по мишени, извлечение шара из ящика, бросание игрального кубика и т. д.

I. 2. Классификация событий

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в данном опыте. Например, если в ящике находятся только красные шары, то событие из ящика извлечен красный шар является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Невозможным называется событие, которое не может произойти в этом опыте. В нашем примере таковым является событие из ящика извлечен синий шар (таких шаров просто нет).

Случайным называется событие, если оно может произойти, а может и не произойти в данном опыте. Если бы в урне находились красные и синие шары, то событие из ящика извлечен красный шар — случайное (ведь мы можем и не извлечь красный шар в данном испытании). Случайными событиями являются “герб” и цифра на верхней стороне монеты при ее подбрасывании, выигрыш по билету лотереи и т. п.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом же опыте. Так, при подбрасывании двух монет события A — “герб на верхней стороне первой монеты” и B — “цифра на верхней стороне второй монеты являются совместными.

Равновозможными считают события, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие K (появление цифры) и событие L (появление герба) равновозможными. Такими же являются появления любой из шести граней при подбрасывании игрального кубика.

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием или шансом). Например, события A1, A2, A3, A­4, A5, A6 — элементарные исходы при подбрасывании кубика.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. Например, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы A2, A­4, A6 являются благоприятствующими событию “выпало четное число очков”.

Пример 1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение. Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (k; m), k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в таблице. Элементарный исход означает, что на первом кубике выпало k очков, а на втором m очков. Например (3, 4) — на первом кубике 3 очка, на втором — 4 очка.

Òàáë. A

(1, 1)	(2,1)	(3, 1)	(4, 1)	(5, 1)	(6, 1)
(1, 2)	(2,2)	(3, 2)	(4, 2)	(5, 2)	(6, 2)
(1, 3)	(2,3)	(3, 3)	(4, 3)	(5, 3)	(6, 3)
(1, 4)	(2,4)	(3, 4)	(4, 4)	(5, 4)	(6, 4)
(1, 5)	(2,5)	(3, 5)	(4, 5)	(5, 5)	(6, 5)
(1, 6)	(2,6)	(3, 6)	(4, 6)	(5, 6)	(6, 6)