Возможности использования элементов теории вероят-ностей и статистики на уроках математики в начальной школе

Страница 4

Нетрудно подсчитать, что равновозможных исходов 49. Вероятность появления двух черных шаров равна , двух белых — , шаров разных цветов — .

Задача 3. Найдите вероятности того, что при двойном испытании как в предыдущей задаче: а) вынут по крайней мере один черный шар; б) вынут хотя бы один белый шар; в) первым вынут черный шар; г) последним вынут белый шар.

Обсуждение. Для решения воспользуемся таблицей из предыдущей задачи. Вероятности равны: а) ; б) ; в) ; г) .

I. 4. О смысле формулы вероятности события

Мы вывели эту формулу с помощью некоторых утверждений. Можно ли утверждать, что мы ее доказали, как доказывают теоремы? Нет, конечно. Мы построили модель реального явления (вынимание шаров из урны). Модель подтверждается фактами и экспериментами. А с математической точки зрения формула есть определение вероятности. И эта формула связывает модель с реальным миром.

Задача 4. Брошены независимо друг от друга две правильные игральные кости. Найти вероятности того, что сумма очков на верхних гранях: а) меньше 9; б) больше 7; в) делится на 3; г) четна.

Обсуждение. При бросании двух костей имеется 36 равновозможных исходов, поскольку имеется 6´6 = 36 пар, в которых каждый элемент — целое число от 1 до 6. Составим таблицу (табл. 3), в которой слева число очков на первой кости, вверху — на второй, а на пересечении строки и столбца стоит их сумма.

Òàáë. C

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Непосредственный подсчет показывает: вероятность того, что сумма очков на верхних гранях меньше 9, равна ; что эта сумма больше 7 — ; что она делится на 3: ; наконец, что она четна, .

Задача 5. В старинной индейской игре “Тонг” два игрока одновременно показывают друг другу либо один, либо два, либо три пальца на правой руке. Если для каждого игрока равновозможно показать 1, 2 или 3 пальца, то чему равна вероятность того, что общее число показанных пальцев четно? Нечетно? Больше четырех? Меньше двух?

Обсуждение. Составим таблицу, в которой номер строки — число пальцев, показанных первым игроком, номер столбца — число пальцев, показанных вторым игроком, а на пересечении строки и столбца стоит общее число показанных пальцев, т. е. сумма номеров строки и столбца.

Òàáë. D

	1	2	3
1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6

Всего имеется 9 равновозможных исходов, соответствующих девяти элементам таблицы. Общее число показанных пальцев четно в 5 исходах, нечетно — в 4, больше четырех — в 3 исходах, меньше двух — ни в одном. Вероятности равны соответственно , , , .

Задача 6. Какова вероятность того, что наудачу выбранное четырехзначное число составлено только из нечетных цифр?

Обсуждение. Всего четырехзначных чисел имеется 9000: они идут в натуральном ряду от 1000 до 9999. Так как нечетных цифр имеется 5, то на каждом из мест (разряды тысяч, сотен, десятков и единиц) может стоять любая из 5 цифр. Всего, таким образом, имеется 5´5´5´5 = 625 четырехзначных чисел, составленных только из нечетных цифр. Значит, искомая вероятность равна 625/9000 = 5/72.

Задача 7. Что вероятнее — выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 партий из 8?

Обсуждение. Прежде всего надо ввести равновозможные исходы. Противники равносильны — это значит, что из большого числа партий примерно половина кончается победой первого, а половина — второго. Мы считаем, кроме того, что результаты нескольких партий не влияют на результаты остальных. Это соглашение дает нам возможность установить, что, скажем, в матче из четырех партий все 2´2´2´2 = 16 возможных последовательностей побед и поражений имеют одинаковую вероятность.

Рассмотрим в качестве примера большое число матчей из двух партий. Из n матчей примерно в n/2 в первой партии победит первый игрок. Поскольку результат первой партии не влияет на результат второй, то примерно в половине тех матчей, где первый игрок победил в первой партии, он проиграет во второй, всего примерно в n/2´1/2 = n/4 матчах. Аналогично события “победил в обоих партиях первый игрок”, “победил в первой партии второй игрок, а во второй — первый”, “в обоих партиях победил второй игрок” будут иметь место примерно в n/4 матчах, т. е. вероятности всех этих событий равны 1/4.