Высшая математика
Страница 3
|
|
|
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) 
.
|
|
Данный несобственный интеграл – расходящийся. |
|
Решить уравнение |
|
. Разделив обе части на 
, получим 
. Проинтегрируем полученное уравнение 
. Представим 
, как 
, тогда
|
|
Решением данного уравнения является |
. |
Найти общее решение уравнения: |
|
Найдем корни характеристического уравнения: 
, тогда 
, следовательно 
, 
, тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
, 
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений 
и 
, возьмем 
, 
, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: 
Представим правую часть уравнения, как 
и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
. Имеем 
, 
, тогда т.к. 
- многочлен второй степени, то общий вид правой части: 
. Найдем частные решения:
, 
, 
Сравним коэффициенты при 
слева и справа, найдем 
, решив систему:
, отсюда 
.
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: 
.
|
Ответ: |
|
Найти предел: 
.
.
|
|
Заданный предел равен |
. Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
.
1. Область определения данной функции: 
.
2. Т.к. точка 
не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. 
и 
, следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты.
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: 
, где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид: 
.
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:
С осью OX: точка
,
с осью OY: точка
|
|
|
Исходя из определения производной, докажите: 
.