Высшая математика
Страница 4
Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в точке : .
Следовательно .
Ответ: |
. |
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: .
.
|
Заданный предел равен . |
Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: .
Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:
.
|
Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид . |
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области: .
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
1. , тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система имеет четыре решения:
, , |
Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
, , |
Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
, , |
Точка – точка условного минимума, при этом функция . |
, , |
Точка – точка условного минимума, при этом функция . |
2. , тогда , ,
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
, , |
Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
, , |
Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
, , |
Точка – точка условного минимума, при этом функция . |
, , |
В точке – точка условного минимума, при этом функция . |