Гамма функции

Страница 3

и на основании (2.2) имеем

(3.1)

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(3.2)

Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как

то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

(3.3)

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая ,имеем

Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.3.2)

имеем

полагая на конец ,,получим

или

в пределе при т.е. при (см3.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

(3.4)

где ,при

для достаточно больших полагают

(3.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов 22

Для вычисления необходимы формулы:

Г()

Вычислить интегралы

Міністерство освіти і науки України

Запорізький державний університет

ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ

Зав. каф. Математичного аналізу

д. т. н. проф. С.Ф. Шишканова

_ 2002р.

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ

ГАМА ФУНКЦІЇ

Розробив

Ст гр 8221-2

Садигов Р.А.

Керівник

Ст. викладач

Кудря В.І.

Запоріжжя 2002.

Содержание

Задание на курсовую работу .2

Реферат .4

введение .5

1. Бета функции…………………………………………… 6

2. Гамма функции .9

3. Производная гамма функции 11

4. Вычисление интегралов формула Стирлинга 16

5. Примеры вычеслений 22

вывод 24

Список литературы…………………………………………… 25

Реферат

Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Обьект иследований: гамма и ее приложения.

В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.

Ключевые слова:

ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.