Геометрия

Геометрия

Понятие о центре тяжести было впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор это понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи.

Именно приложение к геометрии мы и будем рассматривать. Для этого нужно ввести некоторые определения и понятия. Под материальной точкой понимают точку, снабжённую массой. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжёлого шарика, размерами которого можно пренебречь. В связи с этим будем часто указывать только числовое значение той или иной физической величины, но не будем отмечать её наименование, считая, что оно само собой подразумевается. Например, выражение: «В D ABC сторона BC равна a, а в вершине A мы помещаем массу a» означает: «Длина стороны BC равна a сантиметрам, а масса, помещённая в вершине A, равна a грамм».

Если в точке A помещена масса m, то образующуюся материальную точку будем обозначать так: (A, m). Иногда, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем её обозначать одной буквой A. Массу m иногда называют «нагрузкой точки A».

Центром тяжести двух материальных точек (A, a) и (B, b) называется такая третья точка C, которая лежит на отрезке AB и удовлетворяет «правилу рычага»: произведение её расстояния CA от точки А на массу а равно произведению её расстоянию СВ от точки В на массу b; таким образом,

.

Это равенство можно записать и так:

,

то есть расстояние от центра тяжести двух материальных точек до этих точек обратно пропорциональны массам, помещённым в этих точках. Центр тяжести будет ближе к точке с большей массой. Из определения следует: если прямая проходит через центр тяжести двух материальных точек и через одну из них, то она пройдёт и через другую.

Центр тяжести двух материальных точек имеет весьма простой механический смысл. Представим себе жёсткий «невесомый» стержень АВ, в концах которого помещены массы а и b (рис. 1). «Невесомость» стержня практически означает, что его масса по сравнению с массами a и b настолько незначительна, что ею можно пренебречь. Центр тяжести С материальных точек (A, a) и (B, b) — это такая точка, в которой надо подпереть стержень AB, чтобы он был в равновесии.

Для дальнейшего полезно также ввести понятие «объединение» или равнодействующей двух материальных точек. Под этим мы будем понимать материальную точку, которая получится, если в центре тяжести двух материальных точек поместить массы обеих точек.

Пример. Пусть в концах невесомого тонкого стержня AB (рис. 2), длина которого равна 20 ед. Помещены такие массы: в A — 6 ед., в B — 2 ед. Центром тяжести материальных точек (A, 6) и (B, 2) будет точка C, лежащая на стержне AB, определяемая условием: 6CA=2CB, или CB=3CA. Поэтому АВ=CB+CA=4AC. Отсюда (ед.). Объединение материальных точек (A, 6) и (B,2) будет материальная точка (С, 8).

Центр тяжести трёх материальных точек находится следующим образом: находят объединение двух из этих материальных точек и затем ищут центр тяжести образовавшейся таким образом четвёртой материальной точки и третей из данных материальных точек.

Вообще, центр тяжести n материальных точек при n>2 находится так: надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n-й материальной точкой.

Если поместить в центре тяжести несколько материальных точек массы всех этих точек, то образующуюся таким образом новую материальную точку назовём объединением данных материальных точек.

Для решения задач важны следующие простейшие свойства центров тяжести.

I. Положение центра тяжести n материальных точек не зависит от порядка, в котором последовательно объединяются эти точки. (Теорема о единственности центра тяжести для системы из n материальных точек.)

II. Положение центра тяжести системы из n материальных точек не изменится, если заменить несколько материальных точек их объединением. (Теорема о возможности группировки материальных точек.)

При рассмотрении некоторых вопросов механики оказывается выгодным ввести понятие статического момента.

Пусть имеется некоторая точка C и, кроме того, материальная точка Aº(A, m). Статическим моментом материальной точки А относительно точки С мы назовём произведение m×CA и будем его кратко обозначать так: МомСА.

Пользуясь понятием статического момента, определение центра тяжести можно сформулировать так: точка С называется центром тяжести двух материальных точек Aº(A, m1) и Bº(B, m2), если С лежит на отрезке АВ и МомСА=МомСB.

Пусть теперь на некотором луче с началом S (рис. 3) расположена система из некоторых n материальных точек

A1º(A1, m1), A2º(A2, m2), …, Anº(An, mn).

Статическим моментом этой системы относительно начала луча S называют сумму моментов всех точек системы относительно начала луча,

т.е. сумму K=МомSA1+ МомSA2+ МомSA3+…+ МомSAn или, подробнее,

K=m1×SA1+ m2×SA2+ m3×SA3+…+ mn×San.

Пример. Если система состоит из трёх точек (A1, 1), (A2, 4), (A3, 9) и SA1=1, SA2=2, SA3=3 (рис. 4), то статический момент системы равен

K=1×1 + 4×2 + 9×3 = 36.

Понятно, что в системе SGC момент будет иметь размерность г×см. Но мы ранее договорились, что размерность будем каждый раз подразумевать, но нигде не указывать.

В наших рассуждениях основными объектами были «материальные точки». С точки зрения математики материальная точка — это комплекс, состоящий из геометрической точки и некоторого (положительного) числа.

В математике не раз приходится сталкиваться с таким явлением: комплекс из двух каких-то математических объектов рассматривают как некоторый новый объект, который затем уже подвергается специальному изучению. Так, например, в курсе алгебры вводится понятие комплексного числа как комплекса (пары) двух действительных чисел.