Геометрия в пространстве

Страница 3

Рис. 5

б

Художник (вернее, художник-реалист) на­рисует наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или централь­ной проекции. При центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а про­извольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямоли­нейное расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересека­ющиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы. Изучение её свойств при­вело к появлению важного раздела геометрии (см. статью «Проективная геометрия»).

Рис. 6

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в бесконечность и прямые ОХ становятся па­раллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х прямую, па­раллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7). Про­екция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под

α

D¹

D

C

B

B¹

A

A¹

C¹

l

Рис. 7

изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в исключительном слу­чае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллель­ные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин парал­лельных отрезков, хотя сами длины и изменя­ются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свой­ства параллельной проекции:

· Если АВ =k CD, а A¹,B¹,C¹ и D¹- проекции точек A,B,C и D, то A¹B¹= k C¹D¹.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение не толь­ко длин, но и направлений (рис. 7). Таким об­разом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной про­екции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на од­ной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек про­странства.