Геометрия в пространстве

Страница 4

В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника, может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника

Рис. 8

ЛВС любую плоскость а, построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на α вдоль прямой l = СС¹ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём, например, отношения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹. Посмотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно,чтопроекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;

Р(=К’) B(=D)

А¹

С¹

B¹(=D¹) Q

Рис. 9

рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q станут серединами отрезковА1)и ВiCi. Очевидно, что на нашем рисунке A¹Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства параллельной проекции,эторавенство верно и в пространстве. Та же проекция позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка,накоторые он рассекается плоскостью A¹BD: в частности, отрезок KQ, где К — середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ АС, — в отношении 1:2.

Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОСк СОАточки Р, Q и R.

Рис. 10

Q¹