Геометрия в пространстве
Страница 6
B¹ 
Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC¹ на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диагональ АС¹ перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС¹ и А¹В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «треугольному сечению» A¹BD.
В стереометрии помимо обычных плоских
углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами, проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0
до 90°.
Найдём, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего куба (рис. 14). Заменим прямую В¹С на параллельную ей диагональ A¹D противоположной грани; искомый угол равен углу BA¹D, т. е. 60° (треугольник BA¹D равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg (C¹C/AC) = arctg (1/√2]. А угол между плоскостями BDA¹ и BDC¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М — середина BD, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).
Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).
Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и