Геометрия в пространстве
Страница 7
б
равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.
Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером
а * а√2 (проекция на диагональную плоскость АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной а√2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС¹; мы видели, что прямая АС¹ перпендикулярна плоскости BDA¹, а потому правильный треугольник BDA, со стороной а√2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями BDA¹ и BDC¹ — он равен углу между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В¹С (В и B¹C — изображения первой и второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти, что r= а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС¹ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС¹ превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.
