Aлгоритмы на графах

Элементы теории графов.

Граф - совокупность точек и линий, в которой каждая линия соединяет две точки. Точки называются вершинами, или узлами, графа, линии - ребрами графа. Если ребро соединят две вершины, то говорят, что оно им инцидентно; вершины, соединенные ребром называются смежными. Две вершины, соединенные ребром, могут совпадать; такое ребро называется петлей. Число ребер, инцидентных вершине, называется степенью вершины. Если два ребра инцидентны одной и той же паре вершин, они называются кратными; граф, содержащий кратные ребра, называется мультиграфом.

Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление от одной вершины к другой; в этом случае оно называется направленным, или ориентированным, и изображается стрелкой. Граф, в котором все ребра ориентированные, называется ориентированным графом (орграфом); ребра орграфа часто называют дугами. Дуги именуются кратными, если они не только имеют общие вершины, но и совпадают по направлению. Иногда нужно рассматривать не весь граф, а его часть (часть вершин и часть ребер). Часть вершин и все инцидентные им ребра называются подграфом; все вершины и часть инцидентных им ребер называются суграфом. Циклом называется замкнутая цепь вершин. Деревом называется граф без циклов. Остовным деревом называется связанный суграф графа, не имеющий циклов.

Граф однозначно задан, если заданы множество его вершин, множество ребер и указаны все инцидентности (т.е. указано, какие вершины какими ребрами соединены). Наиболее наглядно граф задается рисунком; однако не все детали рисунка одинаково важны; в частности, несущественны геометрические свойства ребер (длинна, кривизна и т.д.) и взаимное расположение вершин на плоскости.

Для неориентированного ребра порядок, в котором указанны соединяемые им вершины, не важен. Для ориентированного ребра важно: первой указывается вершина, из которой выходит ребро.

Маршрут, или путь - это последовательность ребер в неориентированном графе, в котором конец каждого ребра совпадает с началом следующего ребра. Число ребер маршрута называется его длинной.

Графы широко используются как в самой математике, так и в ее приложениях. Они применяются при построении различных математических моделей: линий электропередачи, сетей автодорог, линий воздушных сообщений и пр.

Задача состоит в том, найти путь из вершины A в вершину B. Будем задавать граф матрицей смежности, т.е. квадратной таблицей NxN, в которой на пересечении i-й строки и j-го столбца значение TRUE, если i и j соединены ребром, и FALSE в противном случае.

Поиск в ширину.

Подобно тому как, согласно принципу Гюйгенса, каждая точка волнового фронта является источником вторичной волны, мы, отправляясь из заданной вершины A, посещаем все смежные с ней вершины (т.е. вершины, в которые ведут стрелки из A). Каждая посещенная вершина становится источником новой волны и т.д. При этом необходимо позаботиться о том, чтобы не вернутся в ту вершину, в которой уже были.

Для реализации алгоритма понадобятся:

матрица m[1 n, 1 n] - матрица смежности графа;

вспомогательный массив queue[1 n], в котором будет формироваться очередь, т.е. тип данных первый вошел – первый вышел (FIFO). Размер его достаточен, так как мы не посещаем вершины дважды. С массивом queue связаны две переменные - head и tail. В переменной head будет находиться номер текущей вершины, из которой идет волна, а при помощи переменной tail новые вершины помещаются в "хвост" очереди queue;

вспомогательный массив visited[1 n], который нужен для того, чтобы отмечать уже пройденные вершины (visited[i]=TRUE <=> вершина i пройдена);

вспомогательный массив prev[1 n] для хранения пройденных вершин. В этом массиве и будет сформирован искомый путь;

переменная f, которая примет значение TRUE, когда путь будет найден.

Кроме того, мы введем несколько вспомогательных переменных, которые понадобятся при организации циклов.

Program breadth_first_search;

Const n=9;

m:array[1 n, 1 n] of boolean =

(

(False, True, True, False, False, False, False, False, False),

(True, False, True, False, False, False, True, True, False),

(True, True, False, True, True, False, False, False, False),

(False, False, True, False, True, False, False, False, False),

(False, False, True, True, False, True, False, True, False),

(False, False, False, False, True, False, True, True, True ),

(False, True, False, False, False, True, False, True, True ),

(False, True, False, False, True, True, True, False, False),

(False, False, False, False, False, True, True, False, False)

);

Var A, B: integer;

Procedure A_to_B(A, B: integer);

Var

Visited: array[1 n] of boolean;

Prev: array[1 n] of integer;

c: array[1 n] of integer;

head, tail: integer;

f: boolean;

i, v, k: integer;

Begin

head:=1;

tail:=1;

f:=False;

For i:=1 to n do

Begin

Visited[i]:=False;

Prev[i]:=0

End;

C[tail]:=A;

Visited[A]:=True;

While (head<=tail) and not f do

Begin

v:=C[head];

head:=head+1;

For k:=1 to n do

if m[v, k] and not Visited[k] then

Begin

tail:=tail+1;

C[tail]:=k;

Visited[k]:=True;

Prev[k]:=v;

if k=B then

Begin

f:=true;

break

End

End;

if f then

Begin

k:=B;

Write(B);

While Prev[k]<>0 do

Begin

Write('<-', Prev[k]);

k:=Prev[k]

end

End

else

Write('Пути из ', A, ' в ', B, ' нет')

end;

Begin

Write('A= '); readln(A);

Write('B= '); readln(B);

A_to_B(A, B)

End.

Поиск в глубину.

Идея поиска в глубину проста: отправляясь от текущей вершины, мы находим новую (еще не пройденную) смежную с ней вершину, которую помечаем как пройденную и объявляем текущей. После этого процесс возобновляется. Если новой смежной вершины нет (тупик), возвращаемся к той вершине, из которой попали в текущую, и делаем следующую попытку. Если попадем в вершину B, печатаем путь. Если все вершины исчерпаны - такого пути нет.

Заметим, что построенный таким образом алгоритм способен находить все пути из A в B, но первый найденный необязательно должен быть кратчайшим.

Как обычно, алгоритм с возвратами легче всего оформить с помощью рекурсивной процедуры. Для ее реализации нам понадобятся:

матрица m[1 n, 1 n] - матрица смежности графа;

вспомогательный массив visited[1 n], который мы будем для того, чтобы отмечать уже пройденные вершины (visited[i]=TRUE <=> вершина i пройдена);

переменная f, которая примет значение TRUE, когда путь будет найден.

Program depth_first_search;