В.Б. Кирьянов "Задача равновесий"
Страница 2
Всякое производство, будь то разложение сырья или сборка изделий, является преобразованием сырья в изделия как в отношении их количеств, так и цен:
- и поэтому из 2m+2n его количественных и ценовых величин одна их половина предопределяет другую. Так, в задаче затрат нам задается рыночный спрос на выпускаемые изделия (план их производства) в виде неотрицательного вектора спроса изделий q2 с n составляющими:
q 2l [количество. l-изделий] ³ 0; l = 1, ¼ , n,
а дополнительный ему вектор q 1 спроса на потребляемое сырье подлежит определению в условиях заданных цен - неотрицательного вектора закупочных цен сырья p1 с m составляющими
p1 k [рубли / за единицу k-сырья] ³ 0; k = 1, ¼ , m.
Заданные постоянные задачи называются, также, ее параметрами, а искомые неизвестные - переменными. Для отличения параметров задачи от ее переменных мы будем снабжать параметры дополнительным значком - ноликом “ ° “ сверху.
4.Количественная часть задачи затрат. Предложение изделий. В прямой части задачи затрат относительно заданных цен p1 на потребляемое сырье ищется наименее расходное значение его вектора спроса q 1 . По этой причине прямая часть задачи производственного управления называется, также, ее количественной частью.
Выпуская al k единиц l-изделий из каждой затрачиваемой единицы k-сырья, из q 11 , ¼ , q 1m единиц сырья всех m видов изготовляют q 21 , ¼ , q 2n :
q 21 = a 1 1 q 11 + ¼ + a 1 m q 1m ;
¼
q 2n = a n 1 q 11 + ¼ + a n m q 1m ,
единиц изделий каждого вида. Количества предлагаемых изделий каждого вида представляются линейными функциями q 2l = q 2l (q 1):
q 2l = q 2l (q 1) = á a l , q 1 ñ ; l = 1, ¼ , n ,
количеств затрачиваемого сырья в виде скалярных произведений áa l , q 1ñ m-мерного столбцового вектора q 1 затрат сырья с m-мерными строчными векторами a1 , ¼ , a n матрицы затрат a:
a1 = ( a1 1 ¼ a 1 m ) ,
¼
an = ( an 1 ¼ a n m )
- векторами выпуска изделий каждого вида из всего ассортимента потребляемого сырья.
В обычных матричных обозначениях набор линейных функций q 2l = q 2l (q 1) образует n-мерный столбцовый вектор предложения изделий q 2. Матричное представление полученных балансовых соотношений:
|
q 2 = |
a1 1 ¼ a1 m
¼ ¼ ¼
an1 ¼ an m |
|
q 11
¼
q 1m |
= a q1 |
описывает осуществляемый m´n матрицей выпуска a линейное преобразование m количеств потребляемого сырья всех видов в n количества производимых из него изделий.
5.Множество допустимых планов. Допустимыми являются такие закупки сырья q 1, при которых предложение производимых из него изделий q 2 удовлетворяет заданному на них спросу q 2:
|
q 2 = a q 1 ³ q 2 ,
или: предложение удовлетворяет спрос.
|
Полученные ограничения:
a 1 1 q 11 + ¼ + a 1 m q 1m ³ q 21 ;
¼
a n 1 q 11 + ¼ + a n m q 1m ³ q 2n ,
являются прямыми или количественными необходимыми условиями равновесия. Их решения называются множеством допустимых планов задачи.
Как мы увидим позднее (см. ), множество решений полученной системы неравенств, вообще говоря, неоднозначно, допуская любое неотрицательное перепроизводство изделий Dq 2 :
Dq 2 º q 2 - q 2 ³ 0 .
6.Равновесное потребление сырья. Издержки данного производства, то есть стоимость приобретаемых по заданным закупочным ценам p1 1 , ¼ , p1m потребных количеств q 11 , ¼ , q 1m всех видов сырья, образует их линейную функцию L(q 1):
L(q 1) = p1 1 q 11 + ¼ + p1m q 1m = á p1 , q 1ñ ,
называемую функцией стоимости, а также целевой функцией рассматриваемой задачи. Количественная часть задачи равновесного управления состоит в отыскании на области допустимых планов закупок сырья план закупок q 1 наименьшей стоимости L(q 1):
|
q 1 : á p1 , q 1ñ = min á p1 , q 1ñ
q1 | a q 1 ³ q 2 .
|
Минимизирующее функцию стоимости задачи допустимое значение искомого вектора q 1 называется его равновесным значением или, еще, оптимальным планом задачи, а полученная задача - задачей равновесного (или, что то же самое - оптимального) производственного управления. В общем случае требование минимизации стоимости обеспечивает единственность ее решения.
1.2. Ценовая часть задачи затрат
1.Оценивание изделий. В условиях того же самого производства:
|
|
q 11 ¼ q 1m |
|
|
p2 1
¼
p2 n |
a1 1 ¼ a1 m
¼ ¼ ¼
an1 ¼ an m |
q 21
¼
q 2n |
|
|
p11 ¼ p1 m |
|
- одновременно с веществом сырья на выпускаемые из него изделия переносится и его стоимость и возникает двойственная задача оценки сырья ценами производимых из него изделий, называемая, также, ценовой частью задачи затрат.
Действительно, изготовление из единицы сырья вида k: k=1, ¼ , m, al k штук изделий каждого вида l: l=1, ¼ , n, по ценам p2 l за штуку сообщает сырью стоимости p1 k:
p1 1 = p2 1 a1 1 + ¼ + p2 n an 1 = á p2 , b 1ñ ;
. . .
p1 m = p2 1 a1 m + ¼ + p2 n an m = á p2 , b mñ.
в виде линейных функций
p1 k = p1 k (p2) = á p2 , b kñ
цен производимых из них изделий, в совокупности образующих m-мерный строчный вектор ценности сырья p1. Коэффициентными векторами этих линейных функций служат столбцы b1 , ¼ , bm той же самой матрицы затрат a:
|
b 1 =
|
a1 1
¼
an 1 |
; . . . , b m = |
a1 m
¼
an m |
- векторы выпуска ассортимента изделий из сырья каждого вида.
Полученные ценовые балансовые соотношения:
|
p1 = ( p1 1 ¼ p1 1)
|
a1 1 ¼ a1 m
¼ ¼ ¼
an1 ¼ an m |
= p 2 a, |
являются линейным преобразованием p 2 a= p 1 цен выпускаемых изделий в производственные ценности потребляемого сырья, двойственным осуществляемому той же матрицей выпуска изделий a количественному линейному преобразованию q 2 = a q 1 , сырья в изделия.
2.Ценовые условия равновесия. В условиях свободного доступа как производителей, так и потребителей товаров к сырью и технологиям, продажа всякого готового изделия его производителем становится возможной лишь при условии того, что приобретение готового изделия потребителем оказывается для него не дороже его самостоятельного изготовления. По этой причине допустимыми являются такие продажные цены p2 выпускаемых изделий, при которых производственные ценности p1= p1(p2) сырья не превышают его закупочных цен p1 :