В.Б. Кирьянов "Задача равновесий"
Страница 3
Полученные условия продаж являются двойственными или ценовыми необходимыми условиями равновесия. Они выражают тот наш потребительский опыт, в соответствии с которым товары массового производства при прочих равных условиях имеют свойство приобретаться тем охотнее, чем ниже их цена.
Множество решений ценовых ограничений называется множеством допустимых цен.
3.Равновесные цены изделий. Доход производства, даваемый стоимостью продаваемых по ценам p2 1, ¼ , p2 n требуемых количеств q 21 ,¼ , q 2n выпускаемых изделий образует линейную функцию Ldual(p2) этих цен:
Ldual(p2) = p2 1 q 21 + ¼ + p2 n q 2n = á p2 , q 2ñ,
называемую функцией стоимости ценовой части задачи. Как и всякий доход он стремится быть максимизированным своим получателем, и по этой причине двойственная часть задачи управления состоит в отыскании на множестве допустимых цен изделий их наиболее доходных значений p2 :
|
p2 : á p2 , q 2ñ = max á p2 , q 2ñ
p2 ½ p2 a £ p1
|
. |
Максимизирующие функцию стоимости задачи допустимые цены изделий называются их равновесными ценами, а сама задача - двойственной или ценовой частью задачи равновесного управления.
4.Правила двойственного соответствия. Итак, для одной и той же задачи затрат:
мы получили ее прямую и двойственную части:
q 1 : min áp1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2
и
p2 : max áp2 , q 2ñ при p2 a £ p1 .
Обе они, несмотря на различные "сопряженные" наборы искомых неизвестных: в одной q 1, а в другой p2 ,- объединены одними и теми же наборами параметров a, q 2 и p1 и обладают определенной двойственной симметрией, позволяющей по одной части задачи востановить ей двойственную часть и наоборот.
Действительно, сравнивая между собой обе подзадачи, мы можем установить правила соответствия между ними. Эти правила состоят в замене
1) знака ограничений с ³ на £ ,
2) действия оптимизации функции стоимости c min на max ,
3) параметров ограничений на параметры функции стоимости c q 2 на p1 ,
4) количественных переменных на им сопряженные ценовые: c q 1 на p2 , и наоборот,
и позволяют по известной одной части задачи тут же написать ей двойственную.
Заметим , также, что "сопряженные" количественные q 1 и ценовые p2 переменные обеих подзадач относительно количеств товаров имеют взаимно обратные количественные размерности штук и обратных штук товара:
[ q 1k ] = штуки и [ p2 l] = рубли / штуки,
и их балансовые соотношения взаимно обратны в том смысле, что в прямых - количества сырья преобразуются в количества изделия, а в двойственных - наоборот: цены изделий преобразуются в цены сырья:
q 2 = a q 1 и p2 a = p1 .
5.Транспонирование. Соблюдаемое нами во взаимно двойственных подзадачах различение строчных и столбцовых векторов устраняется действием транспонирования. Транспонированием матрицы называется действие замены ее строк столбцами или, что то же самое,- столбцов строками, и обычно обозначается значком “t” сверху:
|
а t =
|
a1 1 ¼ a1 m
¼ ¼ ¼
an1 ¼ an m |
t
º |
a1 1 ¼ an 1
¼ ¼ ¼
a1 m ¼ an m |
. |
В частности:
|
(q 1) t =
|
q 11
¼
q 1m |
t
= ( q 11 ¼ q 1m) и (p1) t = ( p1 1 ¼ p1 m) t = |
p1 1
¼
p1 m |
. |
Транспонирование произведения матриц доопределяется произведением транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:
(a c )t = (c )t (a )t;
в частности:
( p2 a ) t = a t (p2) t и (a q 1) t = (q 1) t a t ,
а также
(áp1 , q 1ñ) t = á(q 1) t, (p1) tñ .
Теперь, двойственная часть задачи равновесного управления, полученная нами в строчных векторах p1 и p2 с умножением на матрицу a справа:
p2 : max áp2 , q 2ñ при p2 a £ p1 ,
в транспонированном виде записывается подобно своей прямой части
q 1 : min áp1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2
в столбцовых векторах (p1)t и (p2)t с умножением на транспонированную матрицу a t слева:
(p2 )t : max á(q 2)t, (p2)tñ при a t (p2) t £ (p1 )t.
1.3. Задача выпуска
1.Табличное представление. Задача выпуска является "обратной" по отношению к предыдущей задаче затрат задачей равновесного производственного управления. Процессом производства в ней является процесс сборки ряда взаимозаменяемых сложных изделий из нескольких видов простого сырья. Примерами задачи выпуска являются задачи оптимального планирования сборки изделий из нескольких видов комплектующих узлов, в частности:
- строительства из нескольких видов строительных материалов
- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,
- времени работы рабочих нескольких специальностей,
и им подобные задачи.
При использовании m видов сырья для производства n видов изделий во всех задачах выпуска процесс производства описывается матрицей затрат c, составляющие которой
ci j [количество i-сырья / на единицу j-изделия] ³ 0 ,
имеют обратные количественные размерности по отношению к количественным размерностям матрицы выпуска a : [ aj i] = количество j-изделий / на единицу i-сырья.
В условиях заданного вектора предложения сырья q 1 и заданных цен p2 на производимые изделия в количественной (прямой) части обратной задачи ищется наиболее доходное предложение (план производства) изделий q 2 , а в ценовой (двойственной) части - наименее расходные цены p1 потребляемого сырья:
|
|
q 21 ¼ q 2n |
|
|
p1 1
¼
p1 m |
c1 1 ¼ c1 n
¼ ¼ ¼
cm1 ¼ cm n |
q 11
¼
q 1m |
|
|
p21 ¼ p2 n |
|
Формальным отличием приведенной таблицы от таблицы предыдущей задачи является, как мы видим, замена сырьевых переменных "издельными" и наоборот.
2.Количественная часть задачи выпуска. В условиях затрат ci j единиц i-сырья на каждую единицу производимого j-изделия, на выпуск q 21 , ¼ , q 2n единиц изделий всех n видов потребуется q 11 , ¼ , q 1m :