В.Б. Кирьянов "Задача равновесий"

Страница 4

q 11 = c1 1 q 21 + ¼ + c1 n q 2n º ác1 , q 2ñ ;

. . .

q 1m = cm 1 q 21 + ¼ + cm n q 2n º ácm , q 2ñ ,

единиц сырья каждого вида. n-мерные строки матрицы затрат, служащие коэффициентами балансовых соотношений:

c1 = ( c1 1 ¼ c1 n );

. . .

cm = ( cm 1 ¼ cm n ),

есть векторы затрат сырья каждого вида на весь ассортимент производимых из него изделий. Матричное представление полученных балансовых соотношений:

q 1 = q 1(q 2) = c q 2 ,

описывает линейный процесс пересчета предложения выпускаемых изделий в спрос на потребляемое для их производства сырье.

Допустимым является такое предложение изделий, при котором спрос на потребляемое сырье не превосходит его предложения:

q 1 = c q 2 £ q 1.

Доход такого производства, выражаемый стоимостью M(q 2) продаваемых по ценам p2 предлагаемых количеств изделий:

M(q 2) = p2 1 q 21 + ¼ + p2 n q 2n º áp2 , q 2ñ ,

называется функцией стоимости количественной части обратной задачи. Сама же задача состоит в том, чтобы на множестве ее допустимых планов производства найти план наибольшей стоимости:

q 2 : á p2 , q 2ñ = max á p2 , q 2ñ q 2 ½ c q 2 £ q 1

.

В сущности, все задачи равновесного управления являются определениями равновесных значений своих искомых неизвестных.

3.Ценовая часть задачи выпуска. Одновременно, затраты на каждую единицу j-изделия ci j единиц сырья всех m видов по ценам p1 i: i=1, ¼ , m, сообщают выпускаемым изделиям цены p2 1 , ¼ , p2 n :

p2 1 = p1 1 c1 1 + ¼ + p1 m cm 1 º áp1 , d 1ñ ;

. . .

p2 n = p1 1 c1 n + ¼ + p1 m cm n º áp1 , d nñ .

m-мерные столбцовые векторы матрицы затрат:

d 1 º

c1 1 ¼ cm 1

, ¼ , d n º

c1 n ¼ cm n

,

есть векторы затрат сырья на выпуск изделия каждого вида. Ценовые балансовые соотношения

p2 = p2(p1) = p1 c

описывают осуществляемое матрицей затрат двойственное линейное преобразование цен потребляемого сырья в цены производимых из них изделий.

При заданных продажных ценах изделий вложенное в них сырье приобретает ценность, не меньшую ценности выпускаемых из него изделий:

p2 = p1 c ³ p2 .

Как и в задаче затрат полученные ценовые условия равновесия выражают необходимое условие продаж: покупка готовых изделий не должна быть дороже их самостоятельного изготовления.

Стоимость расходуемого сырья:

Mdual(p1) = p1 1 q 11 + ¼ + p1 m q 1m º áp1 , q 1ñ ,

составляет расход производства. Ищутся допустимые цены сырья, сообщающие его стоимости наименьшее значение:

p1 : á p1 , q 1ñ º min á p1 , q 1ñ p1 ½ p1 c ³ p2 .

4.Каноническая пара задач. Итак, мы описали все четыре линейные статические задачи равновесного производственного управления:

		q 1
- пару задач затрат:	p2	a	q 2	:
		p1

с прямой задачей оптимального планирования закупок сырья:

q 1 : min áp1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2 ,

и двойственной ей задачей оптимального планирования цен выпускаемых изделий:

p2 : max áp2 , q 2ñ при p2 a £ p1 ;

		q 2
- и пару задач выпуска:	p1	с	q 1	:
		p2

с прямой задачей оптимального планирования выпуска изделий:

q 2 : max á p2 , q 2ñ при c q 2 £ q 1 ,

и ей двойственной задачей оптимального оценивания сырья:

p1 : min á p1 , q 1ñ при p1 c ³ p2 .

Как мы видим, обе задачи обладают "перекрестной" симметрией и формально, то есть безотносительно к экономическому содержанию, прямая и обратная пары задач тождественны друг другу с точностью до - 1)- переобозначения своих величин и -2)- перестановки между собой их взаимно-двойственных частей:

min á p1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2 max á p2 , q 2ñ при c q 2 £ q 1,

max á p2 , q 2ñ при p2 a £ p1 min á p1 , q 1ñ при p1 c ³ p2 .

Точная взаимозаменяемость задач достигается:

- заменой технологических матриц:

c « a ,

- и переобозначением количественных и ценовых векторов:

(p1; 2 )t « q 1; 2 .

При этом прямая часть задачи затрат становится равносильной двойственной части задачи выпуска, а двойственная часть первой - прямой части второй.

Будем называть взаимно-двойственную пару задач прямого (затратного) вида с прямой (количественной) частью на минимум и двойственной (ценовой) частью на максимум:

	q 1			q 1 : min á p1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2 ,
p2	a	q 2	:
	p1			p2 : max á p2 , q 2ñ при p2 a £ p1 .

- канонической парой линейных задач статического равновесия, а их переменные q 1 и p2 - канонически сопряженными переменными.