Финансовые Инструменты

Страница 5

4.3 Минимизация риска портфеля.

Рассмотрим тот же самый портфель из двух финансовых инструментов х и у. Уровень риска каждого из них, то есть среднеквадратичное отклонение матожидания прибылей по ним, вычислить не трудно и, поэтому, эти величины мы рассматриваем как изначально известные. В таком случае дисперсия, отражающая уровень риска всего портфеля в целом будет равна:

Где VAR(Rp) – дисперсия (или среднеквадратичное отклонение, которое Вы скорее всего в курсе эконометрии обозначали как σ2, квадратный корень которого давал Вам значение стандартного отклонения) матожиданий прибылей на портфель. Используя предыдущее уравнение мы имеем:

Следующие преобразования используют простые свойства матожидания и дисперсии, которые Вы должны уже знать из курсов статистики, теории вероятностей и эконометрии. Итак раскрываем скобки:

Элемент E[(Rx-E(Rx)(Ry-E(Ry)] называется ковариацией, который мы будем обозначать COV(Rx,Ry). По значению он равен произведению коэффициента корреляции между рассматриваемыми случайными величинами и стандартного отклонения каждого из них, то есть COV(x.y)= ρxyσxσx, следовательно риск всего портфеля, состоящего на а% из инструмента х, а на b% (или на (1-а)%) из инструмента у будет равен: Или же:

Подставив 1-а вместо b мы получим квадратное уравнение с одним неизвестным а. Поскольку мы решаем задачу минимизации риска (или дисперсии) всего портфеля в целом, выраженного в σр2 или в VAR(Rp), то взяв первую производную (которая будет уже полиномом первой степени) дисперсии портфеля относительно переменной а и приравняв её к нулю мы можем найти при каком значении а риск портфеля будет минимальным. Другими словами мы можем определить как нужно распределить инвестиционные ресурсы между двумя доступными финансовыми инструментами так, чтобы риск всего портфеля был минимальным. Сделав это Вы должны получить:

Таким образом проблема формирования портфеля, при котором максимизируется ожидаемая прибыль на единицу риска, из доступных ценных бумаг решена. Обратите внимание, что в формуле для дисперсии портфеля отрицательным может быть только 2abρxyσxσy из-за того, что там есть коэффициент корреляции, а кроме него, заметьте, всё является как минимум неотрицательным. Поэтому, чтобы минимизировать риск всего портфеля в целом необходимо выбирать такие инструменты коэффициент корреляции для которых будет очень маленьким. В таком случае значение 2abρxyσxσy будет очень маленьким, а в лучшем случае отрицательным.

4.4 Графическое представление теории.

Чтобы посмотреть каким образом корреляция между матожиданиями прибылей влияет на формирование портфеля рассмотрим опять же случай с двумя инструментами х и у, весовые доли которых в рассматриваемом портфеле равны a и b соответственно. Вспомните, что коэффициент корреляции может быть не более единицы и не менее минус единицы. Если коэффициент корреляции равен единице, то дисперсия ожидаемой прибыли портфеля будет описываться простым квадратным уравнением:

В таком случае стандартное отклонение ожидаемых прибылей равное квадратному корню дисперсии будет простым линейным уравнением σp=aσx+bσy и график будет соответственно линейным.

Если коэффициент корреляции ожидаемых прибылей равен минус единице, то аналогично, дисперсия ожидаемых прибылей портфеля будет также описываться простым квадратом, но уже не суммы, а разницы взвешенных стандартных отклонений, а стандартное отклонение ожидаемой прибыли на портфель будет соответственно σp=aσx-bσy, но обратите внимание на то, что в обоих случаях все переменные являются как минимум не отрицательными. В этом случае, коэффициент корреляции равен –1, оказывается возможно создать совершенный хэдж или принять совершенную хэджевую позицию[9].

Для значений коэффициента корреляции в интервале (-1;1) график будет иметь параболический вид как показано на рисунке 2.1: чем больше будет коэффициент корреляции, тем ближе будет парабола к прямой АВ, а чем меньше – тем ближе к ломаной АСВ.

E(Rp) Рисунок 4.1

E(Rx) А Теория портфеля

ρx,y=-1

С ρx,y=0.3

ρx,y=1

В

E(Ry)

σу σх σp

Здесь в точке С достигается совершенный хедж: положительная ожидаемая прибыль при нулевом риске – совершенная беспроигрышная ситуация для инвестора. Существование такой ситуации (зачастую означающей существование арбитража) практически невозможно в реалии. Во-первых потому, что практически невозможно найти два инструмента с коэффициентами корреляции ожидаемых прибылей равной точно минус единице, а во-вторых даже если получится найти, то такая беспроигрышная ситуация крайне скоротечна.

4.5 Портфель из множества инструментов.

Для упрощения мы рассматривали портфель из двух инструментов. В реалии же инвестиционные портфели состоят из более чем двух инструментов. В общем случае ожидаемая прибыль для портфелей состоящих из n инструментов будет следующей:

Где wi – это вес индивидуального инструмента в портфеле, E(Ri) – матожидание прибыли по индивидуальному инструменту. Величина дисперсии, характеризующая уровень риска всего портфеля будет следующей:

Хотя выражение риска портфеля, состоящего из n инструментов выглядит немного страшновато не надо бояться, поскольку есть довольно простой метод её иллюстрации: так называемый метод ковариационной матрицы[10]. Нарисуем следующую таблицу состоящую из n2 клеток:

Таблица 4.1

	1	2	…	N
1	w1w1COV(R1,R1)	w1w2COV(R1,R2)	…	w1wnCOV(R1,Rn)
2	w2w1COV(R2,R1)	w2w2COV(R2,R2)	…	w2wnCOV(R2,Rn)
…	…	…	…	…
n	wnw1COV(Rn,R1)	wnw2COV(Rn,R2)	…	wnwnCOV(Rn,Rn)