Дисконтирование
Страница 2
Но если без простых процентов нельзя обойтись из-за соображений удобства в обращении или, скажем, ощущения справедливости линейной зависимости вознаграждения от суммы кредита и времени, то в случае сложных процентов основную роль играет наличие свободной конкуренции.
Формула наращения сложных процентов
S = P(1 + i)n (6)
Р - первоначальная сумма долга;
S - наращенная сумма, или сумма в конце срока;
i - ставка наращения (десятичная дробь);
n - срок ссуды.
Например,
Задача 2
Если положить на срочный вклад 100 000 под 60% годовых и на два года, то в результате на этом вкладе окажется 220 000, если действует формула начисления простых процентов (3) и ставка завсеэто время не изменится:
S = 100 000(1+2*0,6) = 220 000.
А если через год снять имеющуюся на счету сумму 160000 и положить на такой же срочный вклад, но в другом банке, то через те же два года получится сумма 256 000 = 160 000 + 96 000, очевидно, на 36 000 большая. Но ведь первый банк не захочет потерять своего клиента-вкладчика и потому сразу предложит ему формулу(6): S = 100 000(1+0, 6)2 =256 000.
Переменные процентные ставки
В некоторых случаях(каких) ставка может изменяться во времени, тогда формула начисления сложных процентов примет вид:
S = P(1 + i)n1 (1 + i)n2 … (1 + i)nk. (7)
Математическое дисконтирование
P = S/(1+i)n (8)
Р - первоначальная сумма долга;
S - наращенная сумма, или сумма в конце срока;
i - ставка наращения (десятичная дробь);
n - срок ссуды.
Задача 3
Банк предлагает 50% годовых. Каков должен быть первоначальный вклад, чтобы через три года иметь на счете 100 000?
Решение
По формуле (8):
P = 100 000 / (1+0,5)3 = 29600.
Сравнение роста по сложной и простой процентной ставке
Сравним множители наращения по простой и сложным процентным ставкам. При сроке большем нуля и меньше года множитель наращения по простой процентной ставке превосходит множитель наращения по сложной:
(1+ni) > (1+i)n
При сроке больше года множитель наращения по сложной прцентной ставке больше множителя по простой:
(1+ni) < (1+i)n
При сроках, равных нулю и единице, множители наращения по сложным и простым процентам равны.
S
p 
0 1 n время
Для наглядности рассмотрим таблицу «Простые и сложные проценты для капитала P =100 000»
|
года
|
3% |
9% |
15% |
20% |
|
Прост. |
Слож. |
Прост. |
Слож. |
Прост. |
Слож. |
Прост. |
Слож. |
|
1 |
3 |
3 |
9 |
9 |
15 |
15 |
20 |
20 |
|
5 |
15 |
16 |
45 |
54 |
75 |
101 |
100 |
149 |
|
10 |
30 |
34 |
90 |
137 |
150 |
305 |
200 |
519 |
|
15 |
45 |
56 |
135 |
264 |
225 |
714 |
300 |
1441 |
|
20 |
60 |
81 |
180 |
460 |
300 |
1537 |
400 |
3734 |
Насколько прогрессивна сложная процентная ставка, очевидно, ее более интенсивный рост при увеличении срока капитализации и доходности налицо.
Инфляция
Изменение стоимости за счет инфляции:
С= S*J (9)
C – номинальная стоимость,
S – реальная стоимость (та, которая бы была, если бы не было инфляции),
J – индекс инфляции, равный 1+ j,
j – процент инфляции.
Инфляция является цепным процессом и всегда учитывается по формуле сложного процента.
Таким образом инфляция пораждает такие понятия, как реальная и номинальная процентные ставки. Под реальной процентной ставкой понимают ставку процента i , который бы капитализировался не будь инфляции j. Под номинальной процентной ставкой h понимают ставку, применяемую инфляционным деньгам. Эти ставки (для сложных процентов) соотносятся:
1+h = (1+i) (1+j), (10)
откуда получаем
h = i + j + ij. (11)
Часто последним членом пренебрегают, т.е. :
h=i +j, (12)
рассчитанная таким образом номинальная ставка не сильно отличается от рассчитанной по формуле (12), но только в случае если инфляция не существенна. Если темпы инфляции высоки, то пренебрегать последним членом нельзя.
Список литературы
1) Балабанов И.Т. «Основы финансового менеджмента», М: «Финансы и статистика» 2001;
2) Жуленев С.В. «Финансовая математика» изд. МГУ 2001;
3) Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. «Финансово-математические модели» изд. «РГУНГ им .И.М. Губкина» 1997.
[1] В России именно такой подход, хотя он и звучит иначе: первый и последний день считаются за один день,