Курсовая работа по ЭММ

Страница 2

1.1 Каноническая задача.

В этом случае система S, помимо тривиальных ограничений (1.3), включает в себя только уравнения.

Определение:

Если ищется max значение функции цели, а все ограничения являются равенством, все переменные не отрицательны, то такая система - называется системой в каноническом виде, а задача - является задачей в канонической форме.

В этом случае модель задач можно записать в векторной форме:

f(х) = с1х1 + с2х2 + .+ сnxn ® max

`А1х1 + `А2х2 + . + `Аnхn = B

xj = 0 (j =1`,n)

`A1 = `A2 = `B =

Записать задачу в каноническом виде:

f = -х1+2х2-х3+х4 ® min

xj=0 (j=1`; 4)

Вместо того, чтобы исследовать функцию f на min, будем исследовать на

f1= - f на max.

В ограничениях содержащих £ к левой части прибавим дополнительную не отрицательную переменную. В ограничениях содержащих ³ - в левой части вычтем не отрицательную дополнительную переменную. Условие не отрицательности в равенство не переводится.

f1 = -f =х1 - 2х2 + х3 - х4 ® max

хj³ 0 (j =`1; 7)

Вводимые дополнительные переменные имеют экономический смысл. В ограничении исходной задачи, отражается расход и наличие ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной, показывает количество не израсходованного ресурса определенного вида.

Замечание: Если переменная хк не подчинена условию не отрицательности, ее нужно заменить на разность двух не отрицательных величин

xk = uk + vk .

Определение: Совокупность не отрицательных чисел х1, х2, ., хn , удовлетворяющих ограничениям задачи, называются допустимым решением или просто планом задачи.

План Х* = (х1*, х2*, ., хn*) при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальной.

Не нулевые допустимые решения задачи, называются базисными решениями, если соответствуют им векторы `Аj образуют линейно не зависимую систему.

1.2 Симплекс - метод .

С самого начала укажем, что симплекс-метод в его непосредственной форме предназначен для решения канонической задачи линейного программирования.

Для работы по симплекс-методу требуется:

1. привести задачу к канонической форме;

2. представить ее в векторной форме;

3. заполнить первую симплексную таблицу;

4. проверить план на оптимальность;

5. если план не оптимален, то выбрать разрешающий элемент, произвести пересчет всех элементов симплексной таблицы и перейти к п.4

Производя расчеты по симплекс-методу, нет необходимости выписывать все вычисления подробно. Оказывается, весь процесс можно записать в виде последовательности однотипно заполняемых таблиц, причем каждому шагу будет отвечать переход к новой таблице.

Для построения первой таблицы из векторов `Аj нужно выбрать несколько компонентов, которые образуют единичную матрицу. И если исходная система ограничений, содержит только неравенства £ или ³, то при введении дополнительных переменных, сразу получают базисные векторы, которые образуют первый базис в симплекс-таблицах.

Сб	Хб	план	С1 х1	С2 х2	.	Сn хn
Dj		D0	D1	D2	.	Dn

В верхней строке записывают коэффициенты при переменных целевых функций. В столбцы х1, х2, ., хn - заносят элементы векторов `А1, `А2,`Аn. В столбец план - заносят компоненты вектора `В. Столбец Хб - отображает переменные входящие в базис. Их индексысовпадают с индексами базисных векторов. Столбец Сб - коэффициенты при базисных переменных в целевой функции.

Проверка плана на оптимальность. Нижняя строка симплекс-таблицы Dj - называется индексной.

D0 = `Сб *`В;

Dj = `Сб*`хj - Сj или Dj = `Cб *`Аj - Cj

Она служит для проверки опорного плана на оптимальность. Если все Dj ³ 0, то все планы являются оптимальными.

Переход от одного базисного решения к другому, осуществляется исключением из базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора.

1. В качестве разрешающего столбца выбирают столбец для которого элемент индексной строки Dр является самым маленьким отрицательным числом.

2. Находим отношения компонент столбца план к неотрицательным элементам разрешающего столбца.

3. Выбираем наименьшее из данных отношений. Строка с ним называется разрешающей.

4. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки стоит разрешающий элемент аqp. Индексы q и p обозначают, что из базиса выводится `Аq, а вместо него вводится `Аp. Разрешающий элемент обычно обводят в таблице.

5. На месте разрешающего элемента в новой симплекс-таблице ставят 1, остальные элементы разрешающего столбца 0.

6. Все элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент.

7. Остальные элементы симплекс-таблицы пересчитывают по формулам Жордана-Гаусса.

Замечание: Если по индексной строке определили разрешающий столбец, но в нем все элементы не положительные, то задача не имеет решений.

Следующий этап - это определение оптимального плана из симплекс-таблицы Х* = (х1*, х2*, ., хn*). Оптимальное решение выписывают из столбцов Хб и план. Столбец Хб - показывает, какие неизвестные отличны от 0. Столбец план - показывает, чему они равны.

D0 - в последней симплекс-таблицы равно max значению целевой функции.

Алгоритм работы по симплекс-методу:

1. Выделяем исходный допустимый базис и заполняем первую таблицу.

2. Если в последней строке полученной таблицы, кроме, быть может, первого числа, нет положительных чисел, то базисное решение является оптимальным - задача решена.

3. Пусть среди указанных в пункте 2 чисел имеется положительное число( скажем, в столбце хj). Отмечаем столбец Хj вертикальной стрелкой. Просматриваем остальные числа этого столбца. Если среди них нет положительных чисел, то min f = -¥ - задача решений не имеет.

4. Пусть среди просмотренных в п.3 чисел имеются положительные числа. Для каждого из таких чисел a составляем отношение, где b - первое число в той же строке (свободный член). Из всех таких отношений выбираем наименьшее. Пусть оно соответствует строке базисного неизвестного хi . Отмечаем эту строку горизонтальной стрелкой. Число a, стоящее в отмеченной строке и отмеченном столбце, называется разрешающим элементом таблицы.