Математические модели в теориях экономического цикла

Страница 2

К = J + j[Y (t - O)] , где O - лаг в осуществлении инвестиций. С учетом сделанных предложений (6) принимает форму дифференциально-разностного уравнения

eY(t) + (1 - a) Y (t) - j[Y (t - O)] = Co + J,

которое аппроксимируется нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка

e OY + bY - j (Y) + (1-a)Y = Co + J,

где b = e + (1- a) O.

Замена переменной позволяет привести последнее уравнение к виду

х + F(x) + x = O, (6)

где х - линейная функция Y; F ( ) - функция, имеющая вид кубической параболы. Для (7), известного как уравнение Рэлея, доказано существование, единственность и глобальная устойчивость предельного цикла.

Такой цикл представляет собой замкнутую траекторию, к которой сходятся любые другие траектории системы. Данный факт следует понимать как доказательство существование я описываемой системе самогенерирующихся незатухающих колебаний. Их амплитудные показатели определяются свойствами (7), а не начальными условиями, что характерно для линейных уравнений второго порядка или для некоторых структурно неустойчивых нелинейных систем. Наличие таких колебаний обусловлено прежде всего функцией F (x) и соответственно формулой нелинейного акселератора с западыванием j[Y (t - O)]. Именно этот результат работы Гудвина представляет наиболее значимым для дальнейшего развития теорий и моделей экономических колебаний.

Исследованию процессов взаимодействия мультипликатора и акселератора посвящены многие работы. В них динамика макроэкономической системы описывается линейными разностными или дифференциальными уравнениями и по существу аналогична типам поведения траекторий модели Самуэльсона - Хикса.

Важной чертой всех этих моделей является, с одной стороны, использование простых балансовых макросоотношений, например, тождества национального дохода, равенства инвестиций и сбережений, а с другой - введение в той или иной форме запаздываний в описание механизма мультиплликатора - акселератора. Именно учет запаздываний позволяет выявить колебательные режимы в моделях подобного типа.

Имеются, однако, и другие попытки дать объяснения экономическим циклам, не основанные на предложении о равенстве сбережений и инвестиций.

2. МОДЕЛЬ КОЛДОРА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ.

Неокейсианские теории экономических колебаний включает направление исследований, у истоков которого находится модель делового цикла Калдора. В ней в центре внимания - неравновесные процессы на рынке капитала, которые самовоспроизводятся за рамками краткосрочного периода. Модель сформулирована в виде следующих рассуждений.

Предполагается, что инвестиции и сбережения ex ante являются нелинейными функциями от показателя, характеризующего уровень экономической активности: I(x) и S(x). У Калдора таким показателем служит занятость. Считается, что ex ante функции I(x) и S(x) имеют вид, представленный на рисунке (3). Точки А, В и С на нем соответствуют равновесным значениям занятости, т.к. в них I(x)= S(x). Если выполнено условие I(x) > S(x), т.е. спрос на капитал больше его предложения, то это означает увеличение экономической активности (рост х). Если I(x) < S(x), то занятость падает. Поэтому точки равновесия А и С являются устойчивыми, тогда как В - неустойчивая.

Это вытекает из гипотез Калдора о функциях инвестиций и сбережений: dI/dx < dS/dx при большой или малой активности (в районе точек равновесия А и С) и dI/dx > dS/dx при нормальной активности ( в районе точки В). Данные гипотезы интерпретируются следующим образом: при ненормально высокой и ненормально низкой активности стимулы и возможности к дополнительному инвестированию намного меньше, чем стимулы к дополнительному сбережению; наоборот, при нормальном уровне активности предельная склонность к инвестированию превышает предельную склонность к сбережению.

Функция I(x) и S(x) краткосрочные, поскольку они неизменны при фиксированной величине основного капитала. В долгосрочном периоде эти зависимости меняются под влиянием изменений запаса капитальных благ. Сдвиги кривых I(x) и S(x) в свою очередь определяют циклическую динамику величины капитала и занятости.

При достаточно высоком уровне активности кривая S(x) постепенно движется вверх, а I(x) - вниз. Точка равновесия В сближается с С. После этого как эти две точки совпадут, графики функций выглядит так, как показано на рис.4.

Поскольку теперь для всех х > A выполнено S(x) > I(x), то уровень занятости начинает быстро падать в зависимости от степени превышения S(x) над I(x), достигая состояния равновесия при малой активности в точке А. Затем процесс идет в обратном направлении: сначала I(x) движется вверх, а S(x) - вниз, и после совпадения точек А и В занятость резко увеличивается до равновесного уровня С. Как считает Н. Калдор, такой циклический процесс не является затухающим.

Схема Калдора вызвала определенный интерес у последующих поколений исследователей. Она дала возможность более изящного использования теоремы Пуанкаре - Бендиксона для доказательства существования предельного цикла в двумерной нелинейной системе, описывающей схему Калдора.

Согласно данной теореме - классическому результату качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости - устойчивый предельный цикл существует, при траектории системы остаются при любых t Î [0, ¥] в некоторой замкнутой области D, не содержащей особых точек. В частности система содержит устойчивый предельный цикл, если ее траектории ограничены, а точки равновесия неустойчивы. Например, на рис.2 изображены множество D (его граница выделена пунктиром), предельный цикл L и неустойчивая особая точка Y.

Рассмотрим подробнее модель Чинга - Смита, Чтобы построить динамическую систему, описывающую цикл, авторы несколько изменили предложение Калдора о функциях инвестиций и сбережений. Теперь они зависят от двух переменных: национального дохода и объема капитала - I = I (Y,K) и S = S (Y,K) , так что ¶I/ ¶Y > 0, ¶ S / ¶Y > 0 и, кроме того, ¶I/ ¶ K < 0, ¶ S / ¶ K< . Величина Y характеризует уровень экономической активности в макросистеме (переменная х в модели Калдора). Система имеет простой вид

Y = a [ I (Y,K) - S (Y,K)], (8)

K = I (Y,K) (9)

где (8) описывает процесс настройки выпуска (дохода) на отклонение инвестиций от сбережений: когда I > S, доход возрастает, и наоборот;

(9) - процесс накопления основного капитала: инвестиций ex ante принимаются равными фактическими чистыми инвестициями. При некоторых условиях на функции I (Y,K) и S (Y,K) - фазовая плоскость системы Чинга- Смита имеет вид, показанный на рис.5. Кривая АВ на этом рисунке соответствует условию равенства сбережений и инвестиций (I (Y,K) - S (Y,K)), а СD - условию нулевых инвестиций (I (Y,K) = 0); замкнутая кривая F - предельный цикл, на которой “наматываются” траектории системы (8) - (9). Стрелками на кривой F показаны циклические фазы увеличения и снижения переменных Y и K. Точка (Y,K), K = Y = 0, означает состояние равновесия систем (8) и (9), которое в соответствии с рис.5 является устойчивым.

Условие неустойчивости состояния равновесия в содержательном смысле наиболее существенно. Оно требует, чтобы частная производная ¶I/ ¶Y была достаточно большой. Предельная “склонность” к инвестированию ¶I/ ¶Y - прямой аналог коэффициента акселерации в моделях мультипликатора-акселератора. В этом смысле выводы модели Чанга-Смита совпадают с основными результатами исследований Д.Хикса и П.Самуэльсона и др. Развитие ими первоначальной конструкции Калдора состояло не только в построении нормальной формальной модели и применении математического аппарата, адекватного теории делового цикла. У. Чанг и Д. Смит показали, что условия на функции инвестиций и сбережений, предложенные Н. Калдором в качестве необходимых и достаточных для возникновения в макроэкномической системе незатухающих самогенерирующихся колебаний, являются только лишь необходимыми. Чтобы такие колебания действительно возникали, требуется довольно ощутимый эффект акселерации инвестиций (запаздывание в этом эффекте не предполагается). Иначе описываемая моделью система устойчива: переменный “доход” и “капитал” при больших интервалах времени стремятся к равновесному состоянию.