Математические модели в теориях экономического цикла

Страница 3

Автор дополнил модель уравнением изменения предложения денег: М = G - T(Y), где G - государственные расходы; T(Y) - налоги, величина которых зависит от уровня дохода. Однако не анализируется динамика полной кейнсианской системы “доход, процент, деньги” . Автор фактически ограничивается допущением о равновесии на денежном рынке в каждый момент времени и исследованием упущенной модели, описывающей динамику дохода и предложения денег. При таком допущении равновесная ставка процента - это функция дохода и предложения денег r = H (Y,M), а эффект акселерации может быть представлен как сумма прямого и косвенного эффектов: (¶I/¶Y+¶I/¶r)(¶H/¶Y). Косвенный эффект вызван воздействием равновесной процентной ставки на инвестиции. Будучи однонаправлен с прямым эффектом ¶I/¶r < 0,¶H/¶Y < 0, он способствует возникновению колебательных режимов в системе “доход - деньги”. Этому же содействует увеличение налоговых ставок при недостаточно высокой предельной склонности к сбережениям ¶S/¶Y< 1.

3. ИРРЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЕБЫТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МОДЕЛЯХ ПЕРЕКРЫВАЮЩИХСЯ ПОКОЛЕНИЙ.

Рассмотренные модели позволяют объяснить возникновение эндогенных колебаний основных макроэкономических переменных: национального дохода, капитала, процента, занятости, заработной платы и др. Общий недостаток их состоит в том, что описываемые ими циклические процессы имеют периодический характер. В существенной мере это связано со спецификой аналитического аппарата - качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости. Основными результатами данной теории являются теорема Пуанкаре - Белдиксона, теорема Андронова - Хопфа о бифуркациях рождения предельного цикла, классификация качественных типов поведения траекторий двумерных систем и некоторые другие. Используя такой аппарат, невозможно объяснить непериодические, иррегулярные колебательные процессы, эндогенно возникающие при изменении режимов экономической динамики. Характерно, что колебания макропоказателей во многих случаях далеки от того, чтобы считаться строго циклическими (иррегулярными).

Исследование экзогенных непериодических экономических колебаний обычно проводится с помощью аппарата линейных стохастических дифференциальных или разностных уравнений (7). Чтобы объяснить появление эндогенных непериодических колебаний, необходимо рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения, имеющие размерность больше двух, или нелинейные разностные уравнения. В последнее время заметно возрос интерес исследователей к применению такого рода динамических систем, поскольку стало возможным описать сложное, хаотическое поведение экономических переменных в рамках малоразмерных детерминированных моделей.

Такие модели могут отражать различные стороны макроэкономической динамики и, в частности, процессы взаимодействия разновозрастных поколений индивидов, осуществляющих межвременный выбор. Имеются в виду так называемые модели перекрывающихся поколений, исследованные в ряде работ.

В каждые дискретный период в описываемой системе сосуществуют два поколения индивидов - молодое и старое, представленных двумя участниками. Молодой осуществляет выбор между уровнем потребления и величиной свободного времени в текущем и в будущем периодах. Считается, что продолжительность жизнедеятельности каждого поколения равна двум периодам, количество же последних же последних, а следовательно, и общее число поколений неограниченно.

Выбор молодого поколения согласуется, во-первых, с решением, принятым старым поколением в предшествующем временном интервале, во-вторых, с его собственным бюджетным ограничением, относящимся к постоянному и последующему периодам, и, в-третьих, с совершенной информацией об изменении уровня цен в будущем. При этом возможны две ситуации обмена между поколениями. В одной (классическая ситуация) молодые участники становятся должниками старых в первом периоде и в свою очередь ссужают последующие молодое поколение во втором. В другой (случай Самуэльсона) молодое поколение вначале делает сбережения, передавая их старому, а замет получает обратно свою ссуду от следующего поколения.

Стимулом обмена в обоих случаях является отклонение индекса цен потребительских товаров Оt = pt/ pt+1, от единицы. Предвидя, например, уменьшение цен в следующем периоде, индивиды планируют увеличение потребления и свободного времени в будущем и некоторое их изменение в настоящем. Направление такого изменения определяется характером межвременных предпочтений.

Если в первые два момента времени индекс цен равен единице, то в дальнейшем обмен между поколениями не происходит. Траектория индекса цен, тождественно равная единице, называется стационарной. Д. Гейл показал, что она является локально устойчивой с случае Самуэльсона и локально неустойчивой в классической ситуации. Неустойчивость стационарной траектории означает, что обмен между поколениями, а также изменения уровня потребления и величины свободного времени происходят при любых, сколь угодно близких к единице, значениях индекса цен. Как справедливо считает Д. Гейл, случай Самуэльсона менее реалистичен, чем классический, в котором настоящее потребление предпочтительнее будущего. Именно этому в исследованиях моделей перекрывающихся поколений большое внимание, как правило, уделяется классическому случаю с неустойчивым стационарным состоянием.

Дж. Бенхабиб и Р. Дэй (32) и Ж.-М. Грандмо (33) показали, что неустойчивая динамика потребления (32), цен и денег, ссужаемых молодому поколению (33), может принимать сложный, непериодический характер. Это происходит при достаточно сильном предпочтении потребления во времени (32) или в условий, когда воздействия межвременных эффектов дохода и замещения на выбор молодого поколения оказываются противонаправленными (33).

В (32) модель перекрывающихся поколений выглядит так

Uo(co(t)) + U1(c1(t+1)) max, (32)

c1(t +1) = w1+Ot(wo - co(t)), (33)

(1+g)(wo-co(t))+w1-c1 (t) =0, (34)

co (t) ³0, c1 (t +1)³0, (35)

где co (t), c1 (t +1) - уровни потребления представителя молодого поколения в текущем и будущем периодах; Uo(co(t)) и U1(c1(t+1)) - функции полезносности, относящиеся к этим интервалам; Оt - относительная цена потребительного блага, которым располагает представитель молодого поколения в настоящем и в будущем (предложение труда, выраженное в единицах потребительского блага); g - темп прироста численности населения. Уравнение (33) - бюджетное ограничение для молодого поколения; (34) - балансовое отношение обмена между поколениями в текущем периоде.

Модели перекрывающихся поколений оказываются полезными также при исследовании свойств динамики макросистемы в условиях неопределенности. При этом гипотеза совершенного предвидения изменений цен заменяется гипотезой рациональных ожиданий, а традиционное понятие равновесия динамической системы - понятием равновесия солнечных пятен. В основе последнего - идея согласованности ожидаемых и действительных значений равновесных цен. Это направление исследований является достаточно новым, однако в нем уже имеются интересные результаты, в которых, например, устанавливается взаимосвязь детерминированных циклов и равновесия солнечных пятен.

Таким образом, модели перекрывающихся поколений позволяют выявить ряд свойств экономической динамики, определяемых межвременным поведением участников. Эндогенные колебательные режимы могут быть объяснены при допущении таких условий, как отсутствие внешних возмущений (“белых шумов”), рациональное поведение индивидов и согласованные прогнозы и,. Наконец, равновесие рынка.

ВЫВОДЫ

Таким образом рассмотренные модели дают возможность сделать выводы о причинах и факторах возникновения эндогенных (самогенерирующихся) циклических колебаний в экономической системе. Несмотря на абстрактный характер допущений, принимаемых в моделях колебательных процессов, нельзя не отметить строгость и прозрачность выводов, получаемых на основе анализа.

В теоретических исследованиях экономической динамики, которые могут быть отнесены к традиционным направлениям экономической науки, наибольшее внимание уделяется инвестиционному поведению. Последнее представляется в виде определенной зависимости между размерами инвестиций и характеристиками состояния экономической системы - прибылью, доходом, занятостью, ставкой процента и т.д. В неоклассических моделях роста рассматриваются инвестиции ex post, т.е. капитальные вложения, реально увеличивающие стоимость основного капитала. Поэтому соответствующие уравнения накопления (воспроизводства) ресурсов односекторных и много секторных моделей роста имеют смысл балансовых поношений типа “доходы - расходы” или “затраты - выпуск”.