Математическое моделирование в сейсморазведке

Страница 9

Данное уравнение имеет место лишь в рамках акустического прибли­жения, поэтому его решение содержит только продольные волны.

Трансформируя поверхность S в полусферу с бесконечным радиусом, на диаметральной плоскости которой расположен отражающий элемент, и аппроксимируя отражающую поверхность набором плоских полос бес­конечной длины и шириной Dx=x2 – x1 (рис. 10, а), А. Трорей получил решение дифракционного интеграла (4.3) для одной[1] такой полосы в виде

(4.4)

здесь R – коэффициент отражения; f(р) – преобразование Лапласа от импульса волны в источнике Q; смысл обозначений Z, q и x ясен из рис. 10. a. Для интегрирования выражения (4.4) следует выразить x через угол q (рис. 10, a), однако два важных вывода можно сделать и до этого

1. На каждом краю отражающего (дифрагирующего) элемента (в точ­ках А рис. 10, б) фаза дифракции изменяется на 180°. В самом деле, пусть D1 и D2 – результаты интегрирования (4.4) в направлении линии АВ (рис. 10, а) на расстоянии Х1 и Х2 соответственно (в пределах от -p/2 до p/2). Тогда jр=D2-D1. Если Х1<0, что соответствует положению точки p над полосой, то jр=V–D2–D1 (здесь V обозначен член, соот­ветствующий отражению). Отсюда следует, что D2 меняет знак при перехо­де Р через край полосы.

2. На дифрагирующем краю форма отраженной и форма дифрагированной волн совпадают, но величина амплитуды дифрагированной волны в 2 раза меньше. Действительно, пусть точка Р при движении слева направо пересекает дифрагирующую полосу (рис. 10, б). Для распространения алгоритма Трорея на случай многослойной среды с криволинейными Распределение амплитуд показано на этом же рисунке. Из условий непрерывности jр при переходе через край А имеем D2=V–D2, т.е. D2=V/2, что и требовалось.

3. Границами раздела, с горизонтальным градиентом плас­товых скоростей и плотностей, с угловыми несогласиями и выклиниваниями Ф. Хилтерман предложил вычислительный способ приведения среды над каждой границей поочередно к однослойной с единой постоянной скоростью. Для этой цели из каждого пункта наблюдения с равным шагом по углу производится трассирование лучей в исходной модели, после чего каждый прослеженный луч заменяется прямолинейным лучом, выхо­дящим из пункта наблюдения под тем же углом (рис. 10, в). Мнимое положение края плоского элемента рассчитываемой границы с номером j находится на прямолинейном луче на расстоянии, равном где Vi – локальная скорость; ti – время прохождения трассированного луча в i-м слое (соответствующий пример представлен на рис. 10, в для границы 3). Множество всех полученных таким образом мнимых точек образует мни­мую модель, состоящую из одной границы с одной постоянной скоростью. От всех краев плоских элементов, составляющих эту мнимую границу, дифрагированные волны правомерно рассчитывать по "простой теории" Трорея.

Раздел 4.3. Количественное оценивание сходства трасс синтетического и реального временных разрезов

Как отмечено в разд. 3.4, при реализации технологии интерпретации дан­ных сейсморазведки, основанной на математическом моделировании, используются оценки сходства, имеющие интегральный и дифференциаль­ный характер.

§ 4.3.1. Способы вычисления предварительных оценок

В качестве первоначаль­ной оценки сходства отрезков сейсмических трасс, входящих в соответ­ствующие друг другу сегменты применяется интегральная оценка с помощью широко известной нормированной функции взаимной корреляции вида:

,

где Ар и Ас – отсчеты реальной и синтетической трасс; L – длина сравни­ваемых трасс; п – номер отсчета сравниваемых трасс; q = –(L–1), –(L–1)+1, …, (L–1) – сдвиг. Из формулы видно, что р(q) Î [-1, 1], причем случай р = ±1 соответствует полному подобию АP(t) и Ас(t) с точ­ностью до полярности, а р=0 – полной их некоррелированности.

Оценка сходства R для заданных трасс и временные сдвиги между ни­ми получаются в результате обработки НФВК р(q) по следующему алгорит­му.

1) выделяются все положительные максимумы НФВК;

2) в координа­тах (р, q) строится окно поиска [(), ± КТ], где – средняя ампли­туда всех экстремумов рассматриваемой функции; – средний период (среднее расстояние между экстремумами); КR и КT – задаваемые кон­станты;

3) за оценку R принимается наибольший из всех положительных экстремумов НФВК, попадающих в окно поиска;

4) в случае, если указан­ное окно не содержит ни одного положительного экстремума, считается, что между сравниваемыми трассами сходство полностью отсутствует; аналогично интерпретируется и случай, когда в окне имеются два и более положительных экстремумов с примерно равными амплитудами, которые характеризуют минимальный уровень значимости параметра R.

В качестве простейшей дифференциальной оценки сходства используется разность между численными производными сравниваемых отрезков сейсмических трасс, при этом для большей устойчивости численные производные сглаживаются путем суммирования на малой базе Вz. Конкретно, вычисляется модульная оценка:

где, , n1=п – 0,5(Вz–1), n2=п + 0,5(Вz–3) – нормированные амплитудные значе­ния отрезков трасс РВР и СВР, а также квадратичная оценка Ssq, отличаю­щаяся от предыдущей тем, что вместо модуля разности сумм в ней исполь­зуется квадрат этой разности. Понятно, что нулевые значения этих оценок соответствуют полному сходству кривых (по используемому критерию); рост значений этих оценок соответствует нарастанию их несходства.

§ 4.3.2. Способ построения дифференциальных оценок, основанный на анализе характерных точек трасс СВР и РВР

При формировании репрезентативной системы частных критериев сход­ства используются следующие предположения:

1) в процессе визуального сопоставления трасс СВР и РВР геофизик-интерпретатор выделяет так называемые характерные точки этих кривых – нули и экстремумы;

2) визуальное сопоставление каждой пары трасс основывается на следующих непосредственно воспринимаемых геофизиком-интерпретато­ром факторах: общее число и порядок следования характерных точек, со­отношение амплитуд экстремумов, разница в положении абсцисс характер­ных точек.

Согласно следующему предположению искомая система частных крите­риев сходства двух кривых А(1)(t) и А(2)(t), являющихся отрезками трасс РВР и СВР соответственно, включает в себя безразмерные критерии четырех типов:

1) рассогласование в соотношениях амплитуд сопоставленных друг дру­гу экстремумов (рис. 11): , , где k и l – порядковые номера этих экстремумов, отсчитанные от начала рассматриваемого временного интервала; п(k) и п(l) – соответствующие им номера отсчетов в дискретизированном представлении кривых;

2) рассогласование в относительном положении сопоставленных экстре­мумов на полупериоде: , . Где g – порядковый номер данного экстремума среди других экстремумов, зафиксированных в рассматриваемом временном ин­тервале; п(g) – номер соответствующего ему отсчета; смысл и ясен из рис. 11;

3) рассогласование в ширине полупериода: , где e – порядковый номер нуля функций А(t), c которого начинается данный полупериод, среди других нулей, выделенных в рассматриваемом интервале, а смысл остальных обозначений ясен из рис. 11;