Полные лекции по аэродинамике и динамике полета

Страница 3

Примерами вихревого движения могут служить:

— плоский сдвиг (когда скорость частиц вдоль некоторой плоскости пропорциональна расстоянию от этой плоскости),

— вращение среды вокруг некоторой оси, как твердого тела (в отличие от потенциального движения аналогичной геометрии в этом случае скорость с удалением от оси линейно возрастает!).

2. ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

2.1. Силы и моменты в механике сплошной среды

Силы, распределенные по объему W, называются объемнымиили массовыми. Они обозначаются и относятся к элементу массы Dm = rDW. Т.е. сила, действующая на элемент массы, равна Dm = rDW, следовательно, размерность совпадает с размерностью ускорения. Примерами массовых сил могут служить гравитационные, электромагнитные, инерционные.

Силы, распределенные по поверхности S, называются поверхностными. Поверхностные силы будем обозначать вектором и относить к элементу поверхности DS сплошной среды. Т.е. имеет размерность давления. Такие силы возникают, например, на свободной поверхности среды, при взаимодействии среды с твердыми телами, а также внутри среды (внутренние поверхностные силы).

Внутренние поверхностные силы необходимо рассматривать при изучении движения отдельных частиц среды с учетом их механического влияния друг на друга. Так, например, происходит при относительном движении двух соседних соприкасающихся частиц. Это явление может наблюдаться в любом месте сплошной среды, причем для бесконечно малых частиц поверхности соприкосновения dS можно построить любым образом. Тогда и , зависящее от такого выбора, можно определить по-разному в зависимости от dS, т.е. ориентации нормали этой площадки, поэтому такое взаимодействие обозначим вектором S. В силу третьего закона Ньютона на одну из пары соприкасающихся частиц действует сила SdS, на другую –SdS. Однако если соприкосновения нет, т.е. если движение имеет разрыв каких-то своих характеристик, то последнее условие может нарушаться.

Вектор S в общем случае не перпендикулярен к dS, поэтому различают нормальную составляющую pSn, называемую нормальным напряжениемили нормальным давлением, и тангенциальную pSt, называемую касательным напряжениемили внутренним трением: SdS= pSndS + pSttdS.

Свойство вектора S рассмотрим с помощью представления бесконечно малой частицы в виде тетраэдра с ребрами, параллельными осям координат (рис. 2). Площади граней такого тетраэдра равны S, S×cos(,x), S×cos(,y), S×cos(,z).

Массовые силы будем считать постоянными во всем объеме W = hS/3 бесконечно малой частицы, а поверхностные силы 1, 2, 3, S постоянными на своих гранях. Это позволит применить к частице начало Даламбера из теоретической механики:

откуда, сократив на S, и перейдя к пределу при h ® 0, получаем инвариантное к выбору площадки равенство:

. (2.1)

Это означает, что существует некоторый объект P, компонентами

которого можно рассматривать векторы, или даже элементы матрицы (pij) – матрицы из компонент векторов. Объект P с компонентами pij называется тензором внутренних напряжений.

Равенство (2.1) позволяет применить теорему Остроградского-Гаусса (1.10) к расчету поверхностных сил:

(2.2)

Кроме сил на каждую частицу жидкости могут действовать и моменты. Примером может служить момент магнитного поля Земли, действующий на каждый элемент стрелки компаса. Такой момент, который действует на элемент массы Dm, будем обозначать . Его принято называть массовой парой(массовым моментом). Размерность совпадает с размерностью квадрата скорости.

Момент, который действует на элемент поверхности DS, будем обозначать . Он называется поверхностной парой(поверхностным моментом) и имеет размерность силы, деленной на длину.

2.2. Уравнения движения сплошной среды

В теоретической механике известно уравнение количества движения материальной точки:

где в правой части равенства стоит сумма всех действующих на нее сил. Обобщим это уравнение на конечный объем сплошной среды, состоящей из частиц, как системы материальных точек, подверженных действию рассмотренных в разделе 2.1 объемных и поверхностных сил:

. (2.3)

Уравнение количества движения конечного объема сплошной среды(2.3), являющееся аналогом второго закона Ньютона, имеет такое же фундаментальное значение для описания любых движений сплошной среды. Оно справедливо и для разрывных движений, и для ударных процессов, характеризующихся разрывными функциями координат и времени (но не нарушениями гипотезы сплошности – см. раздел 1.1).

Заменив последнее слагаемое в (2.3) с помощью (2.2), получим:

левую часть которого преобразуем с помощью (1.12):

Это позволит записать равенство подынтегральных выражений для элементарного объема:

Левую часть этого уравнения в свою очередь можно преобразовать с помощью уравнения неразрывности (1.16):

Таким образом, получено основное дифференциальное уравнение движения сплошной среды:

, (2.4)

или в проекциях на оси декартовой системы координат:

(2.5)

где –компоненты массовой силы .

Отметим, что уравнения (2.4) и (2.5) получены при следующих предположениях:

– непрерывность и дифференцируемость векторов напряжений 1, 2, 3,