Геометрические построения на местности

Страница 2

Задача 5. Нахождение середины отрезка.

Найдите середину отрезка АВ, заданного на местности двумя точками А и В.

Решение!

Возьмём какую-либо точку С, не лежащую на прямой АВ. Продолжим прямую CВ за точку С и отложим на ней точку D на расстоянии 2ВС от точки С. Продолжим прямую АD за точку А и отложим на ней точку Е на расстоянии АD от точки А. Искомая середина F отрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС. Действительно, отрезок СЕ параллелен отрезку AG - средней линии треугольника CDE (здесь G - середина отрезка CD). Так как, кроме того, BC = CG, то CF - средняя линия треугольника ABG, откуда AF = FB.

Задача 6. Деление отрезка в данном отношении

Отрезок, заданный на местности двумя точками А и В, требуется разделить в отношении, в котором находятся длины двух отрезков KL и MN, заданных на местности точками K, L и M, N. Как это сделать?

Решение!

Построение точки F, делящей отрезок АВ в отношении AF:BF =KL: MN, произведём аналогично построению середины отрезка АВ, описанному в решении задачи 5. Отличие будет состоять в том, что точку С выберем на расстоянии KL от точки В, а точку D - на расстоянии 2MN от точки С. В этом случае прямая EC по-прежнему будет параллельна отрезку AG, а значит, разделит отрезок АВ в том же отношении, в котором она делит отрезок BG.

Задача 7. Построение биссектрисы угла

На местности обозначены три точки A, M и N, не лежащие на одной прямой. Проложите биссектрису угла MAN.

Решение!

Выберем на стороне данного угла точки В и С, а на другой - точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства

AB = BC = AD = DE.

Найдём точку О пересечения прямых ВЕ и CD. Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике ACE биссектриса AF является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан EB и CD.

Задача 8. Построение перпендикуляра к прямой

Проложите на местности какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через заданные точки А и В. Как проложить перпендикуляр к прямой АВ, проходящей через данную точку H?

Решение!

Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Кроме того, отложим на том же расстоянии от точки В ещё две точки D и E в двух разных, но не противоположных направлениях. Найдём точку F пересечения прямых AE и CD, а также точку G пересечения прямых AD и CE. Прямая FG перпендикулярна прямой АВ. Действительно, точка А, Е,D и С равноудалены от точки В, т.е. лежат на одной окружности с центром В и диаметром АС. Следовательно, вписанные углы ADC и AEC прямые, поэтому AD и CE – высоты треугольника AFC. Так как все три высоты этого треугольника пересекаются в одной точке G, то прямая FG перпендикулярна стороне АС. Для того чтобы проложить перпендикуляр к прямой АВ через данную точку H, достаточно теперь проложить через эту точку прямую, параллельную прямой FG.

Задача 9. Построения под заданным углом

На местности обозначены точки А и В. Найдите точки C, D и E, для которых выполнены равенства BAC=45°,BAD=6O,° BAE=3O°.

Решение!

Проложим перпендикуляр к прямой АВ, пересекающий в какой–то точке луч АВ. Без ограничения общности считаем для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В. На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложить точки С и F, удалённые от точки В на расстояние АВ. Тогда угол ВАС равен 45° (из равнобедренного прямоугольного треугольника АВС). На прямой AF отложим точку G на расстоянии АВ от точки А, а затем на прямой ВС отложим точку D на расстоянии CG от точки В. Тогда угол ВАD равен 6О°, так как по теореме Пифагора для прямоугольного треугольников АВС, ACG и ABD имеют место равенства

Для построения точки Е теперь остаётся проложить биссектрису угла BAD.

Задача 10. Измерение высоты дерева.

Высоту деревьев можно определить при помощи шеста. Этот способ состоит в следующем.

Запасшись шестом выше своего роста, воткните его в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места А, с которого, глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста. Затем, не меняя положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой aC, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено. Остаётся только на основании подобия треугольников adc и aBC вычислить ВС из пропорции

ВС : bc = aC : ас,

Откуда

Расстояния bc, aC легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние CD (которое также измеряется непосредственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В настоящем реферате рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – провешиванием прямых, делением отрезков и углов, измерением высоты предмета. Приведено большое количество задач и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ. Ценно то, что для их решения не требуется знаний больших, чем в объеме 8 классов.

Кроме того, при работе над рефератом освоен текстовый редактор Word, графический редактор PhotoShop, редактор Web- страниц FrontPage.

Таким образом, цель реферата – изучение методов геометрических построений на местности – достигнута, задачи реферата – ознакомиться с конструированием на компьютере и изучить редакторы, применяющиеся для этого – выполнены.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. «Примени математику»,

М., Наука, 1989.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971.