Страница 13
Идея вероятностного анализа долговых обязательств, представленная здесь, состоит в том, чтобы отслоить от истории сделок с долговыми обязательствами неслучайную составляющую цены (тренд). Тогда оставшаяся случайная составляющая (шум) цены может рассматриваться нами как случайный процесс с непрерывным временем, в сечении которого лежит нормально распределенная случайная величина с нулевым средним значением и со среднеквадратичным отклонением (СКО), равным s(t), где t – время наблюдения случайного процесса. Ожидаемый вид функции s(t) будет исследован нами позже.
Получим аналитический вид трендов долговых обязательств и для начала рассмотрим простейшие случаи таких выражений, которые имеют место для дисконтных бескупонных облигаций и дисконтных векселей.
Пусть бумага данного вида эмитирована в момент времени TI по цене N0 < N, где N – номинал ценной бумаги. Тогда разница N – N0 составляет дисконт по бумаге. Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги TM, когда владельцу бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.
Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу. Определим ее справедливую рыночную цену С(t). Это выражение и является трендом для случайного процесса цены бумаги.
Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации - год. Бумага выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце n – го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале (k+1) – го года обращения бумаги, имеет вид:
 (3.6)
где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента, определяемая по формуле:
 (3.7)
Формула (3.6) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле, предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом обращения дисконтного инструмента.
Получим аналоги формул (3.6) и (3.7) для непрерывного времени, предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом. Разобъем весь период обращения ценной бумаги [TI, TM] на интервалы числом n и длительностью
 (3.8)
Обозначим t = TI + k * D и применим к расчету рыночной цены бумаги формулы (3.6) и (3.7). Это дает:
 , (3.9)
 (3.10)
Предельный переход в (3.9) и (3.10) при D ® 0 дает:
 (3.11)
 (3.12)
Рис. 3.1.1. Функция справедливой цены дисконтной облигации
Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для непрерывного времени. Качественный вид функции (3.10) представлен на рис. 3.1.1.
Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:
 (3.13)
Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения бумаги. Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО) шума как функцию вида:
 (3.14)
Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 3.1.2.
С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t). Тогда шум процесса имеет вид
  (3.15)
где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).
Рис. 3.1.2. Ожидаемый вид функции СКО
Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением корректирующего делителя
 . (3.16)
Тогда процесс e*(t) является стационарным, и в его сечении находится случайная величина с матожиданием 0 и с СКО s0. И определение фактического значения параметра s0 этого процесса может производиться стандартными методами.
Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности долгового инструмента, в процентах годовых:
 (3.17)
где Т - период владения долговым инструментом.
Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем времени (t + T) и является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с матожиданием С(t + T) и СКО s (t + T) (эти функции вычисляются по формулам (3.11) и (3.14)).
Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t+T] в сечении имеет параметры:
 (3.18)
 (3.19)
Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.
Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент времени TI = 0(далее все измерения времени идут в годах)сроком на 2 года c дисконтом 30%, то есть по эмиссионной цене N0 = 700$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет H(1) = 820$. Для проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшегося года владения ( T Î [0, 1] ) как случайный процесс и определить параметры этого процесса.
Согласно (3.11), (3.12), внутренняя норма доходности нашей облигации составляет
r = ln(1000/700) = 35.67% годовых, (3.20)
а справедливая цена
С(t) = 1000*exp(-(2-t)*0.3567/2), t Î [0, 2]. (3.21)
Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума цены, согласно (3.14), имеет вид
 (3.22)
где s0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (3.16).
Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18), (3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 1, C(2) = 1000$, s(1+1) = 0, e(1+1) = 0, и R(1,1) = (1000-820)/(820*1) = 21.95% годовых – неслучайная величина.
Оценим процесс количественно через Т = 0.5 лет владения бумагой, задавшись параметром СКО шума s0 = 20$. Тогда
C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$, (3.23)
 (3.24)
 (3.25)
 (3.26)
Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0, причем эта цена может быть как выше, так и ниже номинала (это обусловлено соотношением объявленной купонной ставки и среднерыночной ставки заимствования, с учетом периодичности платежей). Обозначим размер купона DN, а число равномерных купонных выплат длительностью Dt за период обращения обозначим за K, причем для общности установим, что платеж по последнему купону совпадает с моментом погашения бумаги.
|