Страница 18
Проведем рассуждения по аналогии с предыдущим разделом работы. Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением.
 (3.69)
А текущая доходность по опциону put определяется формулой
 (3.70)
Используем все соображения о получении плотностей распределения, выработанные в предыдущем разделе работы. В нашем случае, исходя из (3.69)
 (3.71)
|dST/dIT| = 1, IT > -zp. (3.72)
Интересно отметить, что в случае опциона call цена подлежащего актива и доход по опциону связаны возрастающей зависимостью, а в нашем случае - убывающей. То есть чем хуже чувствует себя актив, тем лучше держателю непокрытого опциона (если, конечно, инвестор заодно не владеет и самим подлежащим активом).
Множитель K при дельта-функции в точке IT = -zp есть
 - (3.73)
вероятность события ST > xp. Опцион оказывается не в деньгах, что есть условие отказа от исполнения put опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение этого опциона.
Итоговое выражение для плотности распределения jI(y) случайной величины дохода по опциону put имеет вид
 (3.74)
Плотность вида (2.27) – это усеченный с двух сторон нормальный закон плюс дельта-функция на границе усечения. С этой точки зрения качественный вид зависимости (2.27) повторяет вид того же для опциона call в силу симметрии нормального распределения. При произвольном распределении финальной цены результаты были бы другими.
Теперь нетрудно перейти к распределению доходности jR(v), пользуясь (3.69), (3.70) и (3.71):
 (3.75)
Разумеется, отмечаем бимодальность (3.74) и (3.75).
Поэтому риск инвестиций в опцион put может быть определен по формуле
 (3.76)
где
 (3.77)
а jR(v) определяется по (3.75).
Среднеожидаемая доходность вложений в опцион и СКО определяются по (2.64) и (2.65) соответственно.
Рассмотрим асимптотические следствия по аналогии с call опционом. Для этого установим связь между доходностями put опциона и подлежащего актива, с учетом (3.69) и (3.70):
 , (3.78)
где
 (3.79)
Видим, что доходность опциона put и подлежащего актива связаны кусочно-линейным соотношением, причем на участке прямой пропорциональности это происходит с коэффициентом g, который собственно, и характеризует фактор финансового рычага (левериджа).Участок прямой пропорциональности соответствует той ситуации, когда опцион оказывается в деньгах. Поэтому, с приближением вероятности K вида (7.26) к нулю, выполняются следующие соотношения
 (3.80)
То есть между соответствующими параметрами подлежащего актива на участке, когда опцион оказывается в деньгах, возникает линейная связь посредством левериджа. С ростом средней доходности актива средняя доходность put опциона падает, а с ростом волатильности актива волатильность опциона также растет.
В начале года инвестор приобретает за zc = 10 ед. цены опцион call на подлежащий актив со стартовой ценой S0 = 100 ед. Цена исполнения опциона xc = 100 ед., опцион американский, срочностью 1 год. Поскольку цена исполнения совпадает со стартовой ценой, то покупаемый опцион является опционом в деньгах. Инвестор ориентируется на следующие параметры доходности и риска подлежащего актива: текущая доходность r = 30% годовых, СКО случайной величины текущей доходности sr = 20% годовых. В пересчете на финальную цену ST это означает, что через время Т = 0.5 лет подлежащий актив будет иметь нормальное распределение ST с параметрами sT = 115 ед. и sS = 10 ед. Требуется определить доходность и риск опциона в момент времени Т = 0.5 года.
Все полученные соотношения реализованы в компьютерной программе. Расчет по формулам (3.63) - (3.65) дает QT = 0.335,  = 105.8% годовых и sS = 188.5% годовых. Одновременно отметим: поскольку вероятность того, что опцион не в деньгах, мала (0.066), то полученные значения моментов близки к своим асимптотическим приближениям (3.68) = 100% и sS = 200% годовых соответственно.
Результаты наглядно показывают то, что опцион – это одновременно высокорисковый и высокодоходный инструмент. Высокая доходность достигается за счет левериджа: не вкладывая деньги в подлежащий актив, инвестор тем не менее получит по нему возможный доход и не будет участвовать в убытках. Другое дело, что обычно инвестор балансирует на грани прибылей и убытков, ибо все ищут выигрыша, и никто не станет работать себе в убыток. Поэтомудля call-опционов в деньгах разница между среднеожидаемой ценой подлежащего актива и ценой приобретения опциона обычно колеблется вокруг цены исполнения. Это означает, что вложения в непокрытые опционы с точки зрения риска сопоставимы с игрой в орлянку. Для put опциона в деньгах сопоставимыми являются цена исполнения, с одной стороны, и сумма цены опциона и ожидаемой цены подлежащего актива – с другой стороны.
Исследуем рынок полугодовых call-опционов компании IBM. Это можно сделать, воспользовавшись материалами по текущим котировкам опционов на сервере MSN. Исследуем вопрос, какие из обращающихся на рынке call-опционы нам предпочтительнее покупать. Для этого нам нужно задаться прогнозными параметрами распределения доходности подлежащего актива, близкими к реальным. Это будет как бы тот ранжир, которым будут вымеряться опционы выделенной группы.
Взглянем на вектор исторических данных IBM за прошедший квартал (рис.3.2.3). Процесс существенно нестационарен, поэтому стандартной линейной регрессией пользоваться нельзя. Глядя на график, зададимся умеренной оценкой доходности порядка 30% годовых и СКО доходности в 30% годовых. Эти параметры и примем за базовые.
Стартовая цена подлежащего актива на дату покупки опциона – 114.25$. Соответственно, через полгода мы должны иметь финальное распределение цены подлежащего актива с параметрами: среднеее – 131$, СКО – 17$.
Рис. 3.2.3 Ценовая динамика call-опционов компании IBM
В таблицу 3.2.1 сведены значения доходностей и рисков по каждой группе опционов.
Таблица 3.2.1 |
# |
Symbol |
Strike price,$ |
Option Price,$ |
Risk |
Return,
sh/ y |
Ret/Risk |
Rank | |
1 |
IBMDP |
80 |
35.0 |
0.215 |
0.933 |
4.3 |
2 | |
2 |
IBMDQ |
85 |
37.6 |
0.363 |
0.468 |
1.3 |
| |
3 |
IBMDR |
90 |
29.2 |
0.279 |
0.822 |
3.0 |
3 | |
4 |
IBMDS |
95 |
22.8 |
0.244 |
1.059 |
4.5 |
1 | |
5 |
IBMDT |
100 |
21.5 |
0.314 |
0.817 |
2.6 |
4 | |
6 |
IBMDA |
105 |
18.9 |
0.361 |
0.658 |
1.8 |
| |
7 |
IBMDB |
110 |
17.3 |
0.435 |
0.393 |
0.9 |
| |
8 |
IBMDC |
115 |
13.5 |
0.456 |
0.246 |
0.5 |
|
|