Управление инвестиционными рисками

Страница 5

Чтобы найти ковариации ценных бумаг, нужно рассчитать их стандартные отклонения. При расчетах используется база данных с января по май 2003 года. Проведя расчеты получили следующие результаты: s1 = 3,72, s2 = 4,34, s3 = 6,27. Отсюда можно сделать вывод, что дюрация облигации прямо пропорциональна стандартному отклонению, т.е. облигация, обладающая большей дюрацией, имеет больший риск.

Зная стандартные отклонения и коэффициенты корреляции ценных бумаг i и j, можем найти их ковариацию. Так расчеты показали, что s12 = 15,88, s13 = 22,83, s23 = 25,35. Найдем дисперсию для каждой ценной бумаги, которая понадобится для составления ковариационоой матрицы. Дисперсия для первой ценной бумаги равна s11 = 1 * s1 * s1 = s1= 13,69. Аналогично, s22 = 17,58, s33 = 35,88. В результате получаем на выходе следующую ковариационную матрицу.

Таблица 2.1.1.

Ковариационная матрица

Наименование ценной бумаги

27018

45001

46001

27018

13,69

15,88

22,83

45001

15,88

17,58

25,35

46001

22,83

25,35

35,88

Все необходимое для расчета риска портфеля мы получили. Находим стандартное отклонение портфеля: sр = [Х1Х1s11 + Х1Х2s12 + Х1Х2s13 + Х2Х1s21 + Х2Х2s22 + Х2Х3s23 + Х2Х1s31 + Х3Х2s32 + Х3Х3s33] = [(0,25*0,25*13,69) + (0,25*0,45*15,88) + (0,25*0,3*22,83) + (0,45*0,25*15,88) + (0,45*0,45*17,58) + (0,45*0,3*25,35) + (0,3*0,25*22,83) + (0,3*0,45*25,35) + 0,3*0,3*35,88)] = [21,49] = 4,64%.

В портфельной теории под риском понимается возможность отклоне­ния, как положительного, так и отрицательного, фактической доходности актива от его ожидаемой доходности. Иными словами, риск здесь рассматривается как неопределенность результата инвестирования, а не только как возможность понести убытки или недополучить прибыль. Численно риск оценивается по величине среднего квадратического (стандартного) отклонения доходности актива:

(2.3)

где - ожидаемая доходность инвестиционного актива; ri - доходности инвестиционного актива при различных вариантах; pi - вероятности соответствующих вариантов; n - количество вариантов.

Ожидаемая доходность инвестиционного актива находится по следующей формуле:

(2.4)

где ri - доходности инвестиционного актива при различных вариантах; pi - вероятности соответствующих вариантов; n - количество вариантов.

Также измерителем риска является фактора «бета». Коэффициент «бета» бумаги пока­зывает ее чувствительность к колебаниям рынка в будущем. Для оценки «беты» долж­ны быть учтены всевозможные источники подобных колебаний. Затем необходимо оце­нить, как отреагирует цена бумаги на каждое из этих изменений, а также вероятность такого изменения.

«Бету» бумаги можно интерпретировать как наклон графика рыночной модели. Если этот коэффициент был постоянным от периода к периоду, то «историческую бету» (historical beta) бумаги можно оценить путем сопоставления про­шлых данных о соотношении доходности рассматриваемой бумаги и доходности рын­ка. Статистическая процедура для получения таких апостериорных (прошлых) значений коэффи­циента «бета» называется простой линейной регрессией (simple linear regression), или ме­тодом наименьших квадратов. Как становится ясно, истинное значение коэффициента «бета» ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценить это значение.

Модели, рассматриваемые в финансовом анализе, связывают случайную величину r с величинами, которые объективно харак­теризуют финансовый рынок в целом. Такие величины называ­ются факторами. В зависимости от постановки задачи факторы могут считаться как случайными, так и детерминированными, т.е. точно известными величинами.

В самом простом случае выделяется один фактор. Тогда ста­тистическая модель имеет вид:

. (2.5)

Здесь и - постоянные (неизвестные параметры), - случайная величина, удовлетворяющая условию: , где - условное математическое ожидание случайной величины относительно F. Из этого предположения следует, что и безусловное математическое ожидание величины также равно нулю. Коэффициент показывает чувствительность доходности ценной бумаги к фактору F. Коэффициент называют сдвигом.

Одна из самых распространенных моделей использует в ка­честве фактора F доходность рыночного индекса.

Рыночная модель (market mode) – это один из путей отражения взаимосвязи доходности акции за определенный период с доходностью за тот же период акции на рыночный индекс:

ri = aiI + biI rI + eiI, ( 2.6)

где ri - доходность ценной бумаги i за данный период; rI - доходность на рыночный индекс I за этот же период; aiI - коэффициент смещения; biI - коэффициент наклона; eiI - случайная погрешность.

Как видно из выражения, при условии положительности коэффициента наклона, чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходность ценной бумаги. “Бета” коэффициент исчисляется следующим образом:

(2.7)

где siI, обозначает ковариацию между доходностью акции i и доходностью на рыночный индекс, а sI2 обозначает дисперсию (квадрат стандартного отклонения) доходности на индекс.

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией и обозначенный как s2i , состоит из двух частей: (1) рыночный (или систематический) риск (market risk); (2) собственный (или несистематический) риск (unique risk). Таким образом, s2i равняется следующему выражению:

(2.8)

где s2i обозначает дисперсию доходности на рыночный индекс, b2iIs2i - рыночный риск ценной бумаги i, а s2 ei — собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является дисперсия случайной погрешности eiI.

В рыночной модели общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности выражается следующим образом:

, (2.9)

где , .