Страница 5
Для объяснения эксцентричности орбит Кеплер предположил, что планеты представляют собой «огромные круглые магниты», магнитные оси которых сохраняют постоянное направление, подобно оси волчка. Следовательно, планеты будут периодически то притягиваться ближе к Солнцу, то отталкиваться от него, в соответствии с расположением их магнитных полюсов. Далее Кеплер делит всю орбиту Земли на 360 частей, отметив на орбите положение Земли З1, З2, ., З360 в соответствующие моменты времени t1, t2, ., t360. Кеплер сопоставлял сумму расстояний между Землей и Солнцем в моменты времени ti и tk (и во все промежуточные моменты) с промежутком времени, необходимым планете, чтобы перейти из положения Зi, Зk. При сложении оказалось, что эта сумма отрезков не зависит от выбранного участка орбиты, а только от величины промежутка времени. Вспомнив затем, как Архимед для нахождения площади круга разлагал его на большое число треугольников, Кеплер заменяет сумму расстояний площадью сектора, описанного радиусом-вектором точки орбиты, считая эти величины пропорциональными, хотя и не говоря об этом прямо (см. Рис. 5). Необходимо заметить, что при выводе закона площадей (в конце 1601 — начале 1602 г.) Кеплер встретился и по-своему справился с задачей, имеющей прямое отношение к тому разделу математики, бурное развитие которого вскоре ознаменовало наступление нового этапа в истории математики, связанного с исчислением бесконечно малых. Его попытка бесконечного суммирования по существу была первым шагом в численном интегрировании. Второй закон определял изменение скорости движения планет по их орбите, однако сама форма орбиты оставалась еще неизвестной.
Теперь Кеплеру предстояло дать математическое описание той кривой, по которой движется планета, и эта задача оказалась самой сложной и трудоемкой. Пришлось проверять одну за другой многие гипотезы. При этом, правда, в распоряжении Кеплера уже было мощное средство исследования — его закон площадей. Это давало возможность, задавая гипотезу о кривой той или иной формы, вычислять положения, которые должен был бы занимать Марс на этой предполагаемой орбите в различные моменты времени, и сравнивать их с наблюдаемыми положениями. «Правда лежит между кругом и овалом, как будто орбита Марса есть точный эллипс». Но, поместив Солнце в его центр, Кеплер снова не пришел к согласующемуся с данными наблюдений результату.
В начале 1605 г. Кеплеру удалось найти истинную связь между расстоянием Солнце — Марс и так называемой эксцентрической аномалией. Он нашел тогда уравнение, которое сейчас называется его именем и широко используется в теоретической астрономии. Это уравнение имеет вид:
 — константы. Это уравнение является одним из первых трансцендентных уравнений, которые нашли практическое приложение. Наконец Кеплер заметил, что боковое сжатие орбиты составляет 0,00429 доли радиуса, что точно равно половине квадрата определенного им ранее эксцентриситета (0,09262 =0,00857). И тогда Кеплер предположил, что орбита Марса — эллипс, но Солнце располагается не в его центре, а в одном из фокусов. Проверка гипотезы эллипса быстро привела его к успешному завершению работы, ознаменовавшемуся выводом первого закона: Марс движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Кеплер не сомневался, что по этому же закону движутся и остальные планеты, что вскоре им было проверено. Он был уверен также, что и орбита Земли — эллипс, но из-за малого эксцентриситета (e= 0,01673) и недостаточной точности наблюдений этот эллипс тогда еще невозможно было отличить от окружности. Открытые Кеплером законы подготовили почву Ньютону для открытия закона всемирного тяготения.
Законы Кеплера сохраняют свое значение и в наше время. Правда, будучи абсолютно строгими математическими законами для движения двух материальных тел (точнее — материальных точек), они не учитывают воздействия на каждую планету других планет, которые хотя и очень слабы, но все же приводят к небольшим отклонениям их движения от эллиптической орбиты. Но математики и астрономы научились учитывать эти воздействия (благодаря чему, между прочим, были открыты планеты Нептун и Плутон).
Третий закон движения планет Кеплер вывел значительно позже (в 1619 г.). Суть этого закона была изложена в труде под названием «Мировая гармония». Кеплер формулирует этот закон так: « . отношение между периодами обращения каких-нибудь двух планет как раз равняется полуторной степени отношения их средних расстояний; однако обращаю внимание на то, что среднее арифметическое обоих диаметров эллиптической, орбиты немногим менее длиннейшего диаметра». Сейчас этот закон формулируется в такой форме: квадраты сидерических периодов планет относятся между собой, как кубы их средних расстояний от Солнца.
Математические исследования Кеплера.
С 1594 г. Кеплер имел официальное звание математика: штирийский провинциальный математик с 1594 по 1600 г., императорский математик с 1601 г. до конца жизни и, кроме того, математик провинции Верхней Австрии с 1613 по 1628 г. в те времена понятие «математика» был значительно шире чем в наше время. Так в «Математическом словаре» французского академика Ж. Озанама, изданном в 1691 г., кроме традиционных арифметики, алгебры, геометрии, в круг математических предметов включены были также механика с гидростатикой, архитектура и фортификация, география и навигация, астрономия, оптика, а также музыка.
В работах Кеплера математического характера отчетливо прослеживается воздействие, которое оказывали на формирование новых математических идей и методов потребности точного естествознания, в особенности астрономии, механики. Математика во времена Кеплера становилась мощным инструментом изучения и открытия закономерностей и свойств окружающего мира.
Задачи из «Новой астрономии» были лишь первым его шагом в развитии математики переменных величин. Следующим шагом была книга «Nova stereometria doliorum vinariorum . accesit Stereometriae Archimedae Supplementum» («Новая стереометрия винных бочек . с присоединением дополнения к Архимедовой стереометрии»). Книга эта заняла видное место в истории математики и, кстати, является единственным произведением Кеплера, полностью переведенным на русский язык. Книга вышла в Линце в 1615 г., но написана она была почти на два года раньше, и послужил этому весьма любопытный повод, известный по словам самого Кеплера. Осенью 1613 г. в Верхней Австрии был собран особенно обильный урожай винограда. Многочисленные суда и баржи, груженные вином, уходили вверх по Дунаю, а пристань в Линце все еще была забита бочками. Кеплер как решил запастись приятным напитком. Бочки с вином были доставлены к нему на двор, а затем появился купец и с помощью единственного инструмента — мерной линейки, стержня с делениями, быстро измерил количество вина в каждой из бочек без всяких вычислений и учета формы бочек. Он вставлял линейку в наливное отверстие бочки вплоть до упора в нижний край днища, после чего объявлял количество амфор (сосудов, принятых за меру емкости) в ней. Кеплер был очень удивлен этим: каким образом наклонный отрезок между двумя определенными точками может служить мерой вместимости бочки. Он даже усомнился в правильности такого метода измерения, так как представлялось, что очень низкая, ограниченная широкими днищами, бочка могла иметь такое же расстояние до нижней точки днища, как и более высокая бочка с менее широкими днищами. Обоснованно ли такое определение вместимости? Тем более Кеплер вспомнил, что севернее, на Рейне, вместимость бочек определялась либо непосредственным подсчетом количества единиц меры емкости при переливании, либо производили многочисленные замеры размеров бочки, после чего в результате громоздких и утомительных вычислений объявляли ее емкость, хотя многим этот способ казался ненадежным.
Узнав, что употребление мерной линейки санкционируется здесь властями, Кеплер «счел для себя подходящим взять новый предмет математические занятий и исследовать геометрические законы такого удобного и крайне необходимого в хозяйстве измерения, а также выяснить его основания, если таковые имеются». Уже к концу того же года после нескольких недель работы было готово сочинение о результатах этого исследования, и Кеплер отправил его для издания в Регенсбург, так как в это время в Линце еще не было ни одной типографии. Однако издатель, к которому Кеплер обратился, вскоре сообщил, что, по мнению книгопродавцев, предложенное Кеплером сочинение, к тому же написанное на латинском языке, пользоваться спросом не будет, и субсидировать издание отказался. Рукопись надолго застряла в Регенсбурге, и Кеплер вспомнил о ней только тогда, когда при его участии весной 1615 г. в Линце была создана типография. Не без затруднений (издатель, которому была направлена рукопись, к тому времени умер) удалось разыскать и вернуть рукопись в Линц. Кеплер подвергает ее существенной переработке, а также дописывает новую, очень важную главу «Дополнения к Архимеду». Уже осенью 1615 г. «Новая стереометрия винных бочек» — первая книга, напечатанная в Линце, поступила в продажу на ярмарке в крупнейшем тогдашнем центре книготорговли — Франкфурте.
|