Метод конечных элементов

Страница 2

В дальнейшем предполагается, что матрица [km’] известна. Для стержня, оба конца которого жестко прикреплены к узлам, она имеет вид:

(15)

где Е-модуль упругости материала стержня; S-площадь поперечного сечения; J-момент инерции сечения; I=EJ/l; l-длина стержня.

Фактический смысл компонент и блоков матрицы [km’] ясен. Блок [Kqq] и его компоненты характеризуют усилия, возникающие в сечении q стержня при смещении узла q, а блок [Kqr] и его компоненты – усилия в сечении q стержня при смещении узла r. В зависимости от ориентации систем отсчета и правила знаков при определении усилий могут изменятся знаки некоторых компонент матрицы [K’m].

Основное соотношение (15) позволяет выразить усилия в концевых сечениях каждого стержня через перемещения его концов – узлов системы. С другой стороны, усилия в концевых сечениях стержней с точностью до знака равны силам, действующим со стороны стержней на узлы, поэтому матрица [K’m] позволяет связать перемещения узлов стержневой системы с силами, с которыми стержни действуют на узлы при перемещениям последних.

Запишем систему равновесия узлов. Для узла имеем систему трех уравнений равновесия:

(16)

где суммирование распространяется на все стержни, сходящиеся в узле i, а с обозначает сечение каждого их этих стержней, бесконечно близкое к узлу. Число этих уравнений равно числу неизвестных перемещений узла. Но поскольку величины {fmc}зависят не только от перемещений указанного узла, но, в силу (14)-(15), и от перемещений соседних узлов, с которыми узел i связан хотя бы одним стержнем, то уравнение (16) для узла i входят и перемещения соседних узлов. Чтобы определить перемещения соседних узлов, системы уравнения типа (16) надо записать для всех узлов системы и решать их совместно.

Уравнение (16) удобно записывать в глобальной системе отсчета, а связь (14) установлена в локальной системе координат, связанных с отдельными стержнями.

Чтобы работать постоянно в глобальной системе координат, выразим связь (14) в глобальной системе координат с помощью соотношений (10)-(13):

. (17)

Умножим это равенство слева на [Λ]-1 и учтите при этом, что в силу ортогональности [Λ] имеет место равенство

(18)

Тогда

(19)

Выражение (19) определяет матрицу [Km] в глобальной системе координат.

Перепишем (16), используя обозначения блоков (15) матрицы

(20)

где суммирование распространяется на все стержни, соединяющиеся с узлом i. Полная система уравнений равновесия для стержневой системы с N узлами в матричной форме примет вид:

(21)

Если какой-либо узел Р на связан ни с одним стержнем с узлом r, то блок [Kpr] в матрице (21) будет тождественно равен нулю. Таком образом, умея вычислять блоки [Kqq] и [Kqr] для отдельных стержней, на основании информации о системе в целом можно построить систему уравнений равновесия (21) относительно искомых перемещений {d}. Вектор внешних сил {F} предполагается известным.

Наличие опорных закреплений приводит к тому, что некоторые компоненты вектора d заранее известны. Соответствующие компоненты должны быть исключены из искомого вектора {d}, равно как и столбцы с теми же номерами из матрицы (21). Уравнение равновесия для закрепленных узлов не составляются, что равносильно уменьшению числа уравнений (числа строк в матрице) системы (21).

После этого можно решить систему (21) относительно {d}. Обычно для решения используются прямые методы, типа метода последовательного исключения неизвестных Гаусса. Найдя {d}, по формулам (14) или (19) можно определить усилия во всех стержневых элементах системы, в том числе и стержнях, примыкающим к опорным узлам. На этом заканчивается этап статического расчета стержневой конструкции.

Литература:

Геммерлинг Г.А. Система автоматизированного проектирования стальных строительный конструкций. – М.: Стройиздат, 1987г.

Вернуться00

Категория: Архитектура