I век до нашей эры

Страница 2

«Математическое собрание» Паппа имеет для истории математики большое значение: оно содержит обзор трудов предшественников Паппа, развивает некото­рые их идеи, комментирует эти труды. Благодаря этому для нас сохранились све­дения о многих математических работах древних, которые не дошли в подлинни­ках до нашего времени. Кроме того, в работе Паппа имеются и некоторые новые и оригинальные открытия. Так как Папп не всегда называет авторов приводимых им теорем, то нам трудно судить, какие теоремы принадлежат ему самому и какие - другим авторам. Но по отношению к некоторым из них считают несомненным, что они принадлежат Паппу. Многие из этих теорем имеют значительный теоре­тический и практический интерес. Теорема Паппа об инволю­ции точек читается так: «Если на двух прямых, лежащих в одной плоскости, взять по три точки: на первой прямой точки 1, 5 и 3, а на второй—2, 4 и 6, то точки пересечения пар пря­мых 1—2 и 4—5, 2—3 и 5—6, 3—4 и 6— 1 лежат на одной прямой МN (рис. 1).

Большое применение имеет теорема, которая впоследствии была переоткрыта Паулем Гюльденом (1577—1643), а потому и носит имя последнего: объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг какой-нибудь лежащей в ее плоскости прямой, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной при вращении ее центром тяжести. Интересна предложенная и изучен­ная Паппом спираль, которая описывается точкой, движущейся вдоль дуги чет­верти окружности, когда эта дуга вращается около диаметра. Из других теорем, доказанных Паппом, приведем ещё такие: «Центр тяжести треугольника принад­лежит также другому треугольнику, вершины которого лежат на сторонах данного и разделяют эти стороны в одном и том же отношении»; «Прямая, соединяющая противоположные концы параллельных диаметров двух кругов, имеющих внеш­нее касание, проходит через точку касания». Паппу приписывается также решение задачи о проведении через той точки, лежащие на одной прямой, трех прямых, об­разующих треугольник, вписанный в данный круг.

VI. Диофант

К числу александрийских ученых относятся алгебраист Диофант, живший, вероятно, в III в. Жил он 84 года. Последнее сведение почерпнуто из эпиграммы некоего Метродора, помещенной в так называемой «Греческой антологии». Со­держание эпиграммы таково:

«Диофант прожил 1/6 своей жизни в детстве, 1/12 в юности, следующую за­тем 1/7 часть своей жизни был холостяком; через 6 лет после женитьбы у него ро­дился сын, который умер на 4 года ранее своего отца и дожил до возраста, вдвое меньшего, чем лета его отца».

Диофант написал сочинение, названное им «Арифметика». Это сочинение резко отличается по своему характеру от известных нам других математических работ древних греков. Главное отличие заключается в том, что изложение его идет чисто аналитическим путем, хотя и вводится иногда геометрическая терминоло­гия. «Арифметика» Диофанта включает в себя главным образом вопросы алгебры и теории чисел. Надо отметить, что Диофант не излагает обобщенных методов для решения тех или иных вопросов, а к решению каждого отдельного вопроса подхо­дит с особым методом. Это выявляет огромные математические способности Диофанта, но сильно снижает научную ценность его труда- Из 13 книг «Арифме­тики» до нашего времени сохранилось только 6. В них Диофант рассматривает решение уравнений 1-й и 2-й степени, причем ос­новное внимание обращает на не­определенные уравнения.

Алгебра Диофанта должна быть отнесена к так называемому периоду «син­копированной алгебры», то есть к тому времени, ко­гда в алгебр переходили от чисто риторического изложения (то есть словесного) к использованию более крат­ких записей при помощи сокращенных слов и некоторых символов. Так, для изо­бражения неизвестного числа Диофант вводит обозначение S', а когда это неиз­вестное употребляется во множественном числе, то упомяну­тое обозначение уд­ваивается. Для каждой степени неизвестного вводились соответствующие синко­пированные обозначения. Для обозначения вычитания употребляется знак , а для ра­вен­ства — буква I. Уменьшаемое писалось раньше вычитаемого, а чи­сло­вые коэффициенты — после неизвестных. Непосредственное следование одной записи за другой означало действие сложения.

Отрицательные числа Диофанту известны не были, но когда приходилось ум­ножать разность двух чисел на разность двух других чисел, то Диофант пользо­вался, правилом: «отнимаемое число, будучи умножено на отнимаемое, дает при­бавляемое, а, будучи умножено на прибавляемое, дает отнимаемое».

При решении уравнений Диофант признавал только положительные ра­цио­нальные ответы, и притом для квадратного уравнения он всегда вычислял только один ответ, если уравнение имело два рациональных и положитель­ных корня. Ка­ким методом он решал квадратные уравнения, неизвестно, так как в сохранив­шихся до нашего времени книгах этого объяснения не дано. Для решения уравне­ния 1-й степени Диофант прибегал к приемам, описанным им следующим обра­зом: «Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному числу. Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые. Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется только по од­ному члену с каждой стороны». Таким путем Диофант достигал того, чего мы до­биваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвест­ных — в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном. При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние матема­тики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.

VII. Теон и Гипатия

Учеными, завершившими цикл математиков Александрийской школы, были Теон (IV в.) и его дочь Гипатия (370—415).

Теон проделал большую работу, комментируя труды Евклида и Птолемея. Что же касается Гипатии, то, по отзывам историков, она обладала большими зна­ниями в области математики и философии и комментировала труды Архимеда. Диофанта и Аполлония. Она является первой известной в истории математики женщиной-математиком. Ей принадлежат также философские труды по толкова­нию Платона, Аристотеля я других греческих философов. До нашего времени не сохранилось ни одного из трудов Гипатии. Высокая ученость и красноречие, кото­рыми обладала Гипатия, ее деятельное участие в общественных делах города соз­дали ей популярность в Александрии, но вместе с тем вызвали ненависть со сто­роны христианских религиозных фанатиков к ученой «язычнице». В 415 г. она по подстрекательству епископа Кирилла была растерзана толпой христианских изу­веров. Последователи и ученики Гипатии, которым удалось спастись от преследо­вания, бежали в Афины.

VIII. Упадок Александрийской школы

Папп и Диофант явились последними представителями александрийских ма­тематиков, внесших в математику новые идеи. В дальнейшем значение александ­рийских ученых снижается все более и более. Это объясняется как внутренними, так и внешними условиями работы в Александрийской школе. Государственный строй, в условиях которого развивались науки в Афинских и Александрийских школах, строй, основанный на рабском труде, не мог способствовать дальнейшему росту научных знаний. В первые годы существования Александрийской школы Птолемея были созданы весьма благоприятные условия для научной работы, так как это было выгодно для правящих классов: надо было создать сильное и богатое государство, приносящее и личную выгоду Птолемеям.

Развитие техники воен­ного дела, астрономии, географии, торгового дела и промышленности требовало и быстрого развития математики, а потому математика и имела все данные для сво­его роста и вширь и вглубь. Но когда материальные потребности правящих клас­сов были удовлетворены достигнутыми успехами наук, то не стало и стимула для поощрения дальнейшего роста научных знаний. Таковы внутренние условия, вы­звавшие упадок математических наук в Александрии. Но, кроме них, существо­вали и условия внешнего характера. Уже задолго до начала нашей эры стало все более сказываться притязание Рима на овладение территорией, на которой была расположена Александрия. В 47 г. до н. э., во время войны ЮлияЦезаря против Александрии, была сожжена ее замечательная библиотека. Затем она была восстановлена; но когда Рим окончательно овладел Александрией, началась жестокая вражда между христианами и язычниками. Религиозная рознь отозвалась и на науке, так как, во-первых, в науку стала проникать христианская мистика (что отозвалось, например, на творениях Никомаха), а, во-вторых, христианские фана­тики стали преследовать все языческое, в том числе и «языческую» науку. По приказанию патриарха Теофила в 391 г. в Александрии был разрушен храм бога Сераписа, а вместе с храмом погибла и библиотека. Дни Александрийской школы были сочтены.