Доклад: Эксперимент у прилавка

Виктор Лаврус

Для любого дела необходимы определенные качества. Торговые профессии выбирают из-за сравнительно короткого срока обучения, ложного представления об их положительных сторонах, «престижа» в условиях дефицита.

Продавец – это последнее звено в цепи, куда входят производство, транспортировка, хранение и продажа товара. Именно от него во многом зависит, найдет ли продукт труда своего покупателя. Для покупателя продавец – единственный представитель, который отвечает даже за то, что явно выходит за рамки его компетенции.

Покупатель – потребитель продуктов труда. Для измерения веса отпускаемых товаров используются весы и набор гирь. С целью получения выгоды продавец может использовать облегченные гири, подложить навеску под чашу весов, прикрепить магнит к таре во время взвешивания и т.п.

Вы – покупатель. У вас нет средств поверки весов, и вы не хотите носить с собой гири. Перед вами весы, а по ту сторону прилавка продавец. Проанализируем процесс взвешивания.

1) Продавец взвешивает товар весом P с навеской d, которую вы не замечаете.

Результат измерения: P + d = A. Вас обманули и вы обнаруживаете это дома...

2) Попросим продавца взвесить две порции товара P1 и P2 отдельно.

Результаты измерения: P1 + d = B и P2 + d = C. Теперь просим продавца взвесить обе порции P1 и P2 вместе. Ничего не подозревающие весы покажут результат P1 + P2 + d = D. Сравним результаты взвешиваний: B + C – D = d.

Таким образом, разница результатов эксперимента показывает на сколько нас хотят обмануть. Второе измерение проведено с использованием методов планирования эксперимента.

Рассмотренный пример показывает, что даже простые эксперименты могут быть спланированы с получением дополнительной полезной информации. Серьезные экспериментальные исследования со многими критериями качества и входными величинами без планирования эксперимента просто невозможны. С усложнением экспериментов эффективность их планирования возрастает. Объектом исследования с применением теории планирования эксперимента могут быть любые процессы, устройства или их отдельные элементы.

Входные величины объектов исследования могут качественно отличаться друг от друга, поэтому в теории планирования эксперимента входные параметры принято именовать общим названием факторы.

Выходные величины также могут быть качественно различными – они получили название отклик (функция цели, параметр оптимизации).

Модель объекта представляет собой аналитическую зависимость отклика от факторов. Чаще всего эта зависимость неизвестна, известными являются факторы xi и выходные величины отклика yi. Часто встречается задача исследования одной выходной величины у как функции нескольких факторов:

yj = φj (x1, x2, ... xk)

(1)

Вид этой зависимости определяется из физической сущности, а численные значения коэффициентов вычисляются в соответствии с результатами эксперимента. Поэтому модель называют также эмпирической. Следует отметить, что модель объекта может быть построена исходя из теоретически обоснованного понимания сущности происходящих процессов. Созданную таким образом модель называют теоретической.

Планирование эксперимента позволяет решать следующие задачи: отыскание экстремума отклика; определение модели объекта, исследование механизма физического явления и т.п.

Исследовать механизм явления означает определить аналитическое выражение

yj = fj (x1, x2, ... xk),

(2)

которое достаточно точно описывало бы неизвестную зависимость (1) в пределах области возможных значений факторов Xi, называемую областью определения факторов Ω.

Область определения двух факторов х1, х2 называется двухфакторным пространством, а эксперимент – двухфакторным экспериментом. Могут быть также одно- и многофакторные эксперименты. Эксперименты, направленные на раскрытие механизма исследуемого явления и определяющие аналитическую зависимость, называют также интерполяционными или регрессионными. Эксперименты, позволяющие находить экстремум отклика в области его определения, называют экстремальными.

Сведения о действующих факторах и факторном пространстве во многом определяют план эксперимента. Начинают планирование эксперимента с определения количества действующих факторов и влияния их на выходную величину у, устанавливают зависимость факторов между собой, уточняют, какие из факторов являются управляемыми по заданию экспериментатора, а какие неуправляемыми и, наконец, следует учитывать точность измерительной аппаратуры, используемой для измерения значений факторов x1, x2, ... xn и отклика уj. Как правило, точность измерения факторов должна быть примерно на порядок выше, чем точность измерения отклика.

Факторы следует выбирать такими, чтобы они были независимыми. Если же между некоторыми из них имеется функциональная, или корреляционная связь, то из них следует выбрать один фактор.

Наибольшее распространение получили планы экспериментов 2k, 2k–p, планы второго порядка, а в последние десятилетия многофакторные регулярные планы. При двухфакторном эксперименте его область ωs определяется двумя выбранными значениями (уровнями) каждого из факторов – минимальным и максимальным или, как их еще называют, верхним и нижним.

Очень важно с самого начала планирования эксперимента определить интервал варьирования факторов, т.е. величины их верхнего и нижнего значений. На выбор интервала, а, следовательно, и на значение области ωk влияют несколько обстоятельств. Снизу значение интервала ограничено точностью измерения факторов. Интервал варьирования каждого из факторов должен примерно на порядок превышать погрешность их измерения. Ограничение интервала сверху определяется условием, чтобы при переходе от одной области ωs к другой ωs+1 вершины любой области ωs не выходили бы за пределы факторного пространства Ω. Максимальное значение интервала также ограничено областью определения факторов Ω. Наиболее важным является требование адекватности модели, т.е. аппроксимирующая функция (2) должна достаточно точно приближаться к зависимости (1). Существуют критерии проверки условия адекватности, применяемые после проведения экспериментов и использующие дисперсионный анализ и другие методы математической статистики.

Если каждому значению независимой переменной х соответствует определенное значение у, то между ними имеет место детерминированная связь. Если же между х и у существует связь, но не вполне определенная, так что одному значению х соответствует совокупность значений у в виде статистического ряда, то такую связь называют регрессионной, или корреляционной, т.е. регрессионные зависимости характеризуются статистическим видом связи. Экспериментально установить такую зависимость можно путем проведения эксперимента и использования регрессионного анализа.

Модель процесса или объекта в этом случае представляет собой регрессионное выражение (2), связывающее факторы с откликом. В теории планирования эксперимента стремятся представить модели в виде конечной суммы степенного ряда. Для одного фактора линейная модель имеет вид – y = b0 + b1x, квадратичная модель – у = b0 + b1x + b2x2 и т.д. Процедура вычисления коэффициентов регрессии и составляет основную часть регрессионного анализа.

Полным факторным называется такой эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации (наборы) уровней факторов между собой. Варьирование n факторов на двух уровнях дает 2n наборов, на трех уровнях составляет 3n наборов и т.д. Если имеется n факторов, каждый из которых устанавливается на q уровнях, то для реализации полного факторного эксперимента требуется выполнить т = qn опытов. При q > 2 резко возрастает количество наборов, а, следовательно, и опытов в проводимом эксперименте, поэтому такие планы используются чрезвычайно редко.

С увеличением количества факторов число опытов в полном факторном эксперименте быстро растет. При этом некоторые опыты имеют незначительное влияние на общий результат. Если модель объекта представлена линейным полиномом, можно для вычисления коэффициентов регрессии существенно уменьшить необходимое количество опытов, пользуясь методом дробного факторного эксперимента. В соответствии с этим методом используется лишь часть матрицы полного факторного эксперимента, например 1/2, 1/4 – так называемые полуреплика или 1/4-реплика. Соответственно во столько же раз уменьшается количество проводимых опытов.

Список литературы

Люди за прилавком. (Социально-психологические очерки) / А.А.Аамер, Л.И.Аувяэрт, Я.М.Бельчиков и др.– М.: Экономика, 1989.

Бабуров Э.Ф., Куликов Э.Л., Маригодов В.К. Основы научных исследований. – К.: Выща шк., 1988.

Лаврус В.С. Объявляется премия! НиТ, 1999.

Лаврус В.С. Азарт, вероятность, реклама. НиТ, 1999.

Черников Г.Б. Сбой в правом кармане. НиТ, 2002.