Геометрия Лобачевского. Геометрия кривых поверхностей. Доклад по начертательной геометрии.

Муниципальная средняя школа № 1 г. Воронежа.

Доклад по математике.

на тему:

«Геометрия Лобачевского. Геометрия кривых поверхностей»

Выполнила:

Ученица 10 класса «Д»

Коробкина Анна.

ВОРОНЕЖ 2002г.

Геометрия Лобачевского.

Н.И.Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных

геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского

основывается на тех же аксиомах , что и евклидова геометрия, за

исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется противоположным

утверждением- аксиомой Лобачевского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести хотя бы 2 прямые,

не пересикающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая геометрия -Евклида или Лобачевского-

точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя

аксиома Лобачевского и не кажется такой парадоксальной на первый взгляд.

Огромной заслугой Лобачевского было то, что он поставил этот вопрос. Но

его идеи были столь необычны, что современники их не понимали.

Геометрия кривых поверхностей.

Многое в геометрии Лобачевского стало яснее, когда учёные

хорошоознакомились с геометрией кривых поверхностей. Чтобы пояснить в чем

тут дело надо рассмотреть геометрию на шаре. Было время когда люди думали,

что земля плоская. Позже, наблюдая за кораблями, уходящими за горозонт,

они пришли к выводу о шарообразности земли. Но для этого им пришлось

рассматривать предметы (корабли), имеющие определённую высоту,

поднимающиеся над поверхностью Земли. Возникает вопрос, нельзя ли

убедиться в шарообразности Земли, проводя измерения непосредственно над

земной поверхностью и не рассматривая предметов , распо-

ложенных над поверхностью Земли.

Конечно, это легко сделать- ведь если двигаться по Земле в одном и том же

направлении, то в конце концов мы вернёмся на то же место, откуда вышли.

Но для такой проверки нужно сделать целое кругосветное путешествие. А

нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, оставаясь на время на

небольшом участке , скажем на острове ? оказывается, возможно. Для этого

надо измерять геометрические фигуры на поверхности Земли. Возьмем на этой

поверхности 2 точки-А и В. эти точки можно соединить самыми различными

линиями. Не покидая нашего острова. Среди всех линий, соединяющих точки А

и В, будет одна, имеющая самую маленькую длину. Мы, знающие, что Земля

шарообразная, можем сказать , что эта линия - это дуга большого круга,

соединяющая точки А и В. А вот человек , живущий на острове и не знающий о

шарообразности Земли, назовет эту линию прямой , соединяющей точки А и В.

после этого он возьмёт 3 точки А, В, С и измерит углы треугольника АВС .

Если остров очень маленький и точность его инструментов тоже мала, то он

получит, что сумма углов этого треугольника равна 180. Совсем другой

результат получится, если остов велик или инструменты у жителя этого

острова очень точны.

Чтобы понять в чём дело, рассмотрим такие три точки: за точку А выберем

Северный полис, за точку В пересечение экватора с нулевым меридианом и за

точку С- пересечение экватора с меридианом, имеющим долготу 90.если вы

возьмёте эти 3 точки на глобусе, то сразу увидите, что все3 угла

треугольника АВС равны 90. Но ведь тогда сумма всех углов этого

треугольника равна 270. Можно доказать, что у любого треугольника на

поверхности шара сумма углов больше, чем 180, и этот избыток тем больше,

чем больше площадь треугольника ( потому-то для маленьких треугольников

сумма углов равна почти 180).

Таким образом, точно измеряя углы большого треугольника, можно убедиться,

что мы живём не на плоскости, а на искривлённой поверхности. С помощью ещё

более точных измерений можно получить представление и о форме поверхности.

Измерения , проведённые на шаре, можно проводить на любой другой

поверхности. На любой поверхности есть линии, соединяющие 2 точки и

имеющие меньшую длину, чем все остальные линии, соединяющие эти точки.

Такие линии называют геодезическими. Измеряя углы треугольников,

образованных геодезическими линиями, можно судить о степени искривлённости

поверхности. У некоторых кривых поверхностях ( таких, как шар, эллипсиод)

эта сумма получается больше180. У других, например у седла,- больше 180. А

есть поверхности, у которых в некоторых местах получается больше180, а в

других- меньше180, тем сильнее искревлён измеряемыё треугольник. Есть

такая поверхность( её называют псевдосферой), на которой геодезические

линии ведут себя так же, как прямые на плоскости Лобачевского.

Известный немецкий ученый Б.РИМАН ввёл очень важное понятие, показав, что

можно рассматривать не только искривлённые поверхности, но и искревлённые

пространства. Искревлённое пространство очень трудно себе представить-

ведь когдо мы говорим о кривой поверхности, то представляем себе эту

поверхность лежащей на каком-то пространстве. А где же лежит кривое

пространство? Дело в том, что в искревленности поверхности можно

убедиться, не выходя за её пределы, а измеряя углы в треугольниках на этой

поверхности. Точно так же пространство следует считать искривлённым , если

сумма углов треугольника, взятом в этом пространстве, отличается от 180.