Исследование эмпирической зависимости

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ

ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ

И АВТОМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕМА: «Исследование эмпирической зависимости».

КУРС: «Математическое моделирование экономических процессов».

Студентки группы МФ-3-95

Франковской К. И.

____________________________________________________________________________

МОСКВА

1998

План

1. Введение

2. Исходные данные

3. Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости

1. Построение графика эмпирической зависимости в

полулогарифмических координатах

2. Построение производной

3. Построение темпа производной

4. Исследование на приближение к степенной зависимости

1. Построение обратного темпа роста интеграла степенной

зависимости

2. Построение графика B(X

3. Построение графика эмпирической последовательности в

логарифмических координатах

5. Заключение

6. Используемая литература

7. Приложение

1. Введение

Анализ эмпирических данных используется в качестве анализа многих

экономических показателей для возможности прогнозирования изменения этих

показателей. Прогнозированием различной экономической динамики занимаются

технический и фундаментальный анализы. Технический анализ по результатам

исследования предоставляет конкретное решение по действиям, а на базе

фундаментального анализа, можно построить прогноз динамики изменения

конкретного показателя в будущем.

В качестве исследуемой последовательности будет взят эмпирический набор

экономических данных, имеющий растущую тенденцию изменения во времени.

Данные исследования эмпирических данных будут проводиться с целью

выявления некоторых функциональных зависимостей между ними, а также

математической модели, к которой наиболее близко приближается эмпирическая

зависимость.

В данной курсовой работе будет проведен анализ двух эмпирических

последовательностей на соответствие математическим моделям роста, таким как

экспоненциальная зависимость и степенная зависимость.

2. Исходные данные

В качестве исходных последовательностей взяты статистические данные из

книги «Историческая статистика Соединенных Штатов Америки» – Эмиграция в

США из Центральной Европы с 1886 по 1915 год и Эмиграция в США из СССР и

стран Балтии с 1886 по 1915 год.

График исходных данных представлен на листе 1 (см. Приложение).

Эмиграция в США Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и стран

Балтии

(Венгрия, Австрия) (Литва, Эстония, Латвия,

Финляндия)

[pic]

3.Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости

3.1 Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических

координатах

Уравнение экспоненциальной функции имеет следующий вид:

X=Cekt ,

что является решением дифференциального уравнения:

dX/dt = KX .

Проинтегрировав это уравнение получим линейную зависимость lnX по t:

lnX = kt + lnC .

Эмиграция из Центральной Европы Эмиграция из СССР и стран Балтии

[pic]

Формула, указанная выше позволяет нам сделать утверждение, что если

данные последовательности эмпирических данных приближаются к экспоненте, то

график зависимости lnX от времени должен находиться в линейном коридоре.

Иными словами, если последовательность представляет собой

экспоненциальную функцию, то ее график в полулогарифмических координатах

спрямляется.

По данному графику определяется темп роста, равный

K = (2/(1 = (lnX2 – lnX1)/(t2-t1) ,

параметр lnC влияет на расположение прямой на плоскости.

Графики зависимости lnX от t представлены на листе 2 (см. Приложение).

Темп роста К, определенный по графикам, равен для графика зависимости

Эмиграции в США из Центральной Европы – 0,11, для графика зависимости

Эмиграции из СССР и стран Балтии – 0,13.

3.2 Построение производной

Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле:

Xґ(ti) = (Xi – Xi-1)/(ti – ti-1) .

Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и

представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени.

Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во

времени увеличивается.

Эмиграция в США из Эмиграция в США из

СССР и

Центральной Европы стран

Балтии

[pic]

3.3 Построение темпа производной

График изменения темпа производной строится с использованием формулы:

Xґ(ti)/X(ti) = (Xi – Xi-1)/Xi(ti – ti-1) .

Эмиграция в США из Эмиграция в США

из

Центральной Европы СССР и стран

Балтии

[pic]

В результате построений получен график, представляющий собой колебания

с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который

характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности.

4. Исследование на приближение к степенной зависимости

4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости

Степенная функция имеет вид:

X = X0(t – t0)B ,

который является решением дифференциального уравнения следующего вида:

dX\dt = BX/(t – t0) .

Производная степенной функции равна:

Xґ = BX0(t – t0)B-1 .

Темп роста степенной функции равен:

Xґ/X = B/(t – t0) ,

а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид:

X/Xґ = (t – t0)/B .

Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не

позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие

этого будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции,

имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно

определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном

случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая

пересекает ось абсцисс в точке t0.

Интеграл степенной функции вычисляется по формуле :

Y = Xґ(t – t0)B+1/B+1 .

А обратный темп роста интеграла равен:

Yґ/Y = X/Y = (B+1)/(t – t0) .

Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле:

B = ctg( - 1 ,

или, другими словами, разности отношения приращения аргумента ((1) к

приращению функции ((2) и 1.

Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по

формуле:

Y/Yґ = ((X(t)/X .

Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и стран

Балтии

[pic]

Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение).

Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по

приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая

тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших

квадратов.

На основе данных графиков получены следующие значения параметров

прямой:

График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из

Центральной Европы: t0 = 1877, B = 2.5

График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и

стран Балтии: t0 = 1875.5, B = 2.9

4.2 Построение графика B(X

Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального

времени t0, построен график зависимости B(X от времени.

Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение).

Поскольку, как и в предыдущем случае, невозможно выделить четкую

линейную тенденцию графиков эмпирических последовательностей. Поэтому путем

проведения прямой через минимумы графика и прямой через максимумы графика,

ищется прямая, расположенная на одинаковом расстоянии от обеих прямых.

В результате проведенных построений определились значения t0. В обоих

случаях они не совпадают со значениями, полученными в результате предыдущих

построений.

Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы новое

значение t0 = 1890.

Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии новое

значение t0 = 1883.

Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и

стран Балтии

[pic]

4.3 Построение графика эмпирической последовательности в

логарифмических координатах

Как было сказано выше, степенная функция имеет вид:

X = X0(t – t0)B .

Прологарифмировав обе части, получаем линейную зависимость lnX от lnT,

где Т = t – t0:

LnX = lnX0 + Bln(t – t0) .

Графики зависимости lnX от lnТ построены с учетом обоих значений t0.

Для значений t0 (t – t0 = T1, t0= 1877 для последовательности

Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1875,5 для последовательности

Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании

графиков обратного темпа роста интеграла эмпирической последовательности,

графики имеют вид, представленный на листе 7 (см. Приложение).

Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и стран

Балтии

[pic]

Как и в предыдущем случае, проводится прямая, находящаяся на одинаковом

расстоянии от прямой, проведенной через минимумы графика и прямой,

проведенной через максимумы графика. Коэффициент наклона данной прямой в

этом случае будет равняться

Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В

= 2,39;

Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В

= 2,73.

Для значений t0 (t – t0 = T2, t0 = 1890 для последовательности

Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1883 для последовательности

Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании

графиков B(X , графики имеют вид, представленный на листе 8 (см.

Приложение).

Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и

стран Балтии

[pic]

Из аналогично обработанноых графиков эмпирических последовательностей

получены новые значения коэффициентов наклона прямых, равные

Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В

= 2,44;

Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В

= 1,82.

5.Заключение

В результате проведенных исследований были построены графики

эмпирических зависимостей и из них получено:

эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы

приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,11

эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии

приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,13

эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы

приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении

графиков были получены следующие значения параметров:

В=2,5 t0= 1877

В=2,39 t0= 1890

В=2,44

эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии

приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении

графиков были получены следующие значения параметров:

В= 2,9 t0= 1875,5

В= 2,73 t0= 1883

В= 1,82

6. Используемая литература

1. Statistical History of USA.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ