Измерение и Экономико-математические модели

1. Описание объекта

В нашем случае объектом исследования являются совокупность фирм ,

заводов , предприятий . Моделируемым показателем является Y -

производительность труда ( тыс.руб / чел ) .

2. Экономические показатели ( факторы )

Отбор факторов для модели осуществляется в два этапа. На первом идет

анализ, по результатам которого исследователь делает вывод о необходимости

рассмотрения тех или иных явлений в качестве переменных, определяющих

закономерности развития исследуемого процесса, на втором – состав

предварительно отобранных факторов уточняется непосредственно по

результатам статистического анализа.

Из совокупности экономических показателей мы отобрали следующие :

Зависимый фактор:

У- производительность труда, (тыс. руб.)

Для модели в абсолютных показателях

Независимые факторы:

Х1 - стоимость сырья и материалов ( тыс.руб.)

Х2 - заработная плата ( тыс.руб. )

Х3 - основные промышленно-производственные фонды ( тыс.руб. )

Х4 - отчисления на социальное страхование ( тыс.руб. )

Х5 - расходы на подготовку и освоение производства ( тыс.руб. )

Х6 - расходы на электроэнергию ( тыс.кВт час. )

Данные представлены в таблице 1.

Таблица

|№ Объекта |Y |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |

|1 |10.6|865 |651 |2627 |54 |165 |4.2 |

|2 |19.7|9571 |1287 |9105 |105 |829 |13.3|

|3 |17.7|1334 |1046 |3045 |85 |400 |4 |

|4 |17.5|6944 |944 |2554 |79 |312 |5.6 |

|5 |15.7|14397 |2745 |15407 |229 |1245 |28.4|

|6 |11.3|4425 |1084 |4089 |92 |341 |4.1 |

|7 |14.4|4662 |1260 |6417 |105 |496 |7.3 |

|8 |9.4 |2100 |1212 |4845 |101 |264 |8.7 |

|9 |11.9|1215 |254 |923 |19 |78 |1.9 |

|10 |13.9|5191 |1795 |9602 |150 |599 |13.8|

|11 |8.9 |4965 |2851 |12542 |240 |622 |12 |

|12 |14.5|2067 |1156 |6718 |96 |461 |9.2 |

Для модели в относительных показателях

Х1- удельный вес стоимости сырья и материалов в себестоимости продукции

Х2- удельный вес заработной платы в себестоимости продукции

Х3- фондовооруженность одного рабочего, тыс.руб./чел.

Х4- удельный вес отчислений на соц. страхования в себестоимости продукции

Х5- удельный вес расходов на подготовку и освоение производства в

себестоимости продукции

Х6- электровооруженность одного рабочего, тыс. кВт./ чел.

Данные представлены в таблице 2.

Таблица

|№ Объекта |Y |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |

|1 |10.6|16,8 |12,6 |5,7 |1,0 |3,2 |0,06|

|2 |19.7|33,1 |4,5 |8,0 |0,4 |2,8 |0,08|

|3 |17.7|9,9 |7,7 |4,6 |0,6 |3,0 |0,08|

|4 |17.5|63,1 |8,6 |4,1 |0,7 |2,8 |0,08|

|5 |15.7|32,8 |6,3 |8,0 |0,5 |2,8 |0,10|

|6 |11.3|40,3 |9,9 |5,2 |0,8 |3,1 |0,08|

|7 |14.4|28,3 |7,7 |7,1 |0,6 |3,0 |0,09|

|8 |9.4 |25,2 |14,6 |7,2 |1,2 |3,2 |0,11|

|9 |11.9|47,3 |9,9 |4,5 |0,7 |3,0 |0,13|

|10 |13.9|26,8 |9,3 |9,4 |0,8 |13,1 |0,11|

|11 |8.9 |25,4 |14,6 |6,5 |1,2 |3,2 |0,08|

|12 |14.5|14,2 |8,0 |8,5 |0,7 |3,2 |0,13|

3. Выбор формы представления факторов

В данной работе мы не используем фактор времени, т.е. в нашем случае

мы используем статистическую модель. В 1-ом случае мы строим статистическую

модель в абсолютных показателях, во 2-м – статистическую модель в

относительных показателях. Проанализировав полученные результаты, мы

выбираем рабочую статистическую модель.

4. Анализ аномальных явлений

При визуальном просмотре матрицы данных легко улавливается аномалия на

пятом объекте в таблице 1,2 . Здесь все факторы завышены в несколько раз .

Скорее всего мы сталкиваемся в данном случае с заводом-гигантом . Поэтому

данное наблюдение мы отбрасываем . Теперь формируем обновлённую матрицу

данных .

Таблица 3

|№ Объекта |Y |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |

|1 |10.6|865 |651 |2627 |54 |165 |4.2 |

|2 |19.7|9571 |1287 |9105 |105 |829 |13.3|

|3 |17.7|1334 |1046 |3045 |85 |400 |4 |

|4 |17.5|6944 |944 |2554 |79 |312 |5.6 |

|6 |11.3|4425 |1084 |4089 |92 |341 |4.1 |

|7 |14.4|4662 |1260 |6417 |105 |496 |7.3 |

|8 |9.4 |2100 |1212 |4845 |101 |264 |8.7 |

|9 |11.9|1215 |254 |923 |19 |78 |1.9 |

|10 |13.9|5191 |1795 |9602 |150 |599 |13.8|

|11 |8.9 |4965 |2851 |12542 |240 |622 |12 |

|12 |14.5|2067 |1156 |6718 |96 |461 |9.2 |

Таблица 4

|№ Объекта |Y |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |

|1 |10.6|16,8 |12,6 |5,7 |1,0 |3,2 |0,06|

|2 |19.7|33,1 |4,5 |8,0 |0,4 |2,8 |0,08|

|3 |17.7|9,9 |7,7 |4,6 |0,6 |3,0 |0,08|

|4 |17.5|63,1 |8,6 |4,1 |0,7 |2,8 |0,08|

|6 |11.3|40,3 |9,9 |5,2 |0,8 |3,1 |0,08|

|7 |14.4|28,3 |7,7 |7,1 |0,6 |3,0 |0,09|

|8 |9.4 |25,2 |14,6 |7,2 |1,2 |3,2 |0,11|

|9 |11.9|47,3 |9,9 |4,5 |0,7 |3,0 |0,13|

|10 |13.9|26,8 |9,3 |9,4 |0,8 |13,1 |0,11|

|11 |8.9 |25,4 |14,6 |6,5 |1,2 |3,2 |0,08|

|12 |14.5|14,2 |8,0 |8,5 |0,7 |3,2 |0,13|

4. Анализ матрицы коэффициентов парных корреляций для абсолютных величин

Таблица 5

|№ фактора |Y |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |

|Y |1.00 |0.52|-0.22|-0.06|-0.23|0.44|0.12|

|X1 |0.52 |1.00|0.38 |0.52 |0.38 |0.74|0.60|

|X2 |-0.22|0.38|1.00 |0.91 |1.00 |0.68|0.74|

|X3 |-0.06|0.52|0.91 |1.00 |0.91 |0.86|0.91|

|X4 |-0.23|0.38|1.00 |0.91 |1.00 |0.67|0.74|

|X5 |0.44 |0.74|0.68 |0.86 |0.67 |1.00|0.85|

|X6 |0.12 |0.60|0.74 |0.91 |0.74 |0.85|1.00|

Из таблицы 4 находим тесно коррелирующие факторы. Налицо

мультиколлениарность факторов Х2 и Х4 . Оставим только один фактор Х2 . Так

же достаточно высокий коэффициент корреляции ( 0.91 ) между факторами Х2 и

Х3 . Избавимся от фактора Х3 .

5. Построение уравнения регрессии для абсолютных величин

Проведём многошаговый регрессионный анализ для оставшихся факторов :

Х1 , Х2 , Х5 , Х6 .

а) Шаг первый .

Y = 12. 583 + 0 * X1 + 0.043 * X2 + 0.021 * X5 - 0.368 * X6

Коэффициент множественной корреляции = 0.861

Коэффициент множественной детерминации = 0.742

Сумма квадратов остатков = 32.961

t1 = 0.534 *

t2 = 2.487

t5 = 2.458

t6 = 0.960 *

У фактора Х1 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х1

можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор .

б) Шаг второй.

Y = 12.677 - 0.012 * X2 + 0.023 * X5 - 0.368 * X6

Коэффициент множественной корреляции = 0.854

Коэффициент множественной детерминации = 0.730

Сумма квадратов остатков = 34.481

t2 = 2.853

t5 = 3.598

t6 = 1.016 *

У фактора Х6 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х6

можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор .

в) Шаг третий .

Y = 12.562 - 0.005 * X2 + 0.018 * X5

Коэффициент множественной корреляции = 0.831

Коэффициент множественной детерминации = 0.688

Сумма квадратов остатков = 39.557

t2 = 3.599

t5 = 4.068

В результате трёхшаговой регрессии мы получили рабочее уравнение.

6. Анализ матрицы коэффициентов парных корреляций для относительных

величин

Таблица 5

|№ фактора |Y |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |X6 |

|Y |1.00 |0.14|-0.91|0.02 |-0.88|-0.0|-0.1|

| | | | | | |1 |1 |

|X1 |0.14 |1.00|-0.12|-0.44|-0.17|-0.0|0.02|

| | | | | | |9 | |

|X2 |-0.91|-0.1|1.00 |-0.12|0.98 |-0.0|-0.3|

| | |2 | | | |1 |8 |

|X3 |0.02 |-0.4|-0.12|1.00 |0.00 |0.57|0.34|

| | |4 | | | | | |

|X4 |-0.88|-0.1|0.98 |0.00 |1.00 |0.05|-0.0|

| | |7 | | | | |5 |

|X5 |-0.01|-0.0|-0.01|0.57 |0.05 |1.00|0.25|

| | |9 | | | | | |

|X6 |-0.11|0.02|-0.38|0.34 |-0.05|0.25|1.00|

В таблице выявляем тесно коррелирующие факторы. Таким образом, не трудно

заметить достаточно высокий коэффициент корреляции между факторами Х2 и Х4.

Избавимся от Х2

7. Построение уравнения регрессии для относительных величин

а) Шаг первый .

Y = 25,018+0*Х1+

Коэффициент множественной корреляции = 0,894

Коэффициент множественной детерминации = 0.799

Сумма квадратов остатков = 26,420

t1 = 0,012*

t2 = 0,203*

t3 =0.024*

t4 =4.033

t5 = 0.357*

t6 = 0.739 *

У фактора Х1 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х1

можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор .

б) Шаг второй .

Y = e ^3.141 * X2^(-0.722) * X5^0.795 * X6^(-0.098)

Коэффициент множественной корреляции = 0.890

Коэффициент множественной детерминации = 0.792

Сумма квадратов остатков = 0.145

t2 = 4.027

t5 = 4.930

t6 = 0.623 *

У фактора Х6 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х6

можно принебречь . Вычеркнем этот фактор .

в) Шаг третий .

Y = e ^3.515 * X2^(-0.768) * X5^0.754

Коэффициент множественной корреляции = 0.884

Коэффициент множественной детерминации = 0.781

Сумма квадратов остатков = 0.153

t2 = 4.027

t5 = 4.930

В результате трёхшаговой регрессии мы получили рабочее уравнение :

Y =

Экономический смысл модели :

При увеличении расходов на подготовку и освоение производства

производительность труда будет увеличиваться . Это означает что на данных

предприятиях есть резервы для расширения производства , для введения новых

технологий и инноваций с целью увеличения прибыли .

При увеличении заработной платы производительность труда будет

снижаться . Это , скорее всего , будет происходить из-за того , что рабочие

на данных предприятиях получают и так высокие зарплаты , либо фонд

заработной платы используется по максимуму и дальнейший его рост приведёт к

непредвиденным расходам .

8. Сравнительный анализ линейной и степенной моделей

Сравнивая линейную и степенную регрессионную модель видим , что

статистические характеристики степенной модели превосходят аналогичные

характеристики линейной модели . А именно : коэффициент множественной

детерминации у степенной модели равен 0.781 , а у линейной - 0.688 .

Это означает , что факторы , вошедшие в степенную модель , объясняют

изменение производительности труда на 78.1 % , тогда как факторы , вошедшие

в линейную модель , - на 68,8 % ; сумма квадратов остатков степенной

модели ( 0.153 ) значительно меньше суммы квадратов остатков линейной

модели ( 39.557 ) . Следовательно значения полученные с помощью степенной

модели близки к фактическим .