Количественные методы в управлении
Количественные методы в управлении
Содержание.
Содержание. 2
1. Оптимальное производственное планирование. 3
1.1 Линейная задача производственного планирования. 3
1.2 Двойственная задача линейного программирования. 4
1.3 Задача о комплектном плане. 5
1.4 Оптимальное распределение инвестиций. 6
2. Анализ финансовых операций и инструментов. 9
2.1 Принятие решений в условиях неопределенности. 9
2.2 Анализ доходности и рискованности финансовых операций. 11
2.3 Статистический анализ денежных потоков. 13
2.4 Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг. 17
3. Модели сотрудничества и конкуренции. 19
3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.
19
3.2 Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и
конкуренции двух участников. 20
3.3 Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества. 22
4. Социально-экономическая структура общества. 24
4.1 Модель распределения богатства в обществе. 24
4.2 Распределение общества по получаемому доходу. 26
1. Оптимальное производственное планирование.
1.1 Линейная задача производственного планирования.
48 30 29 10 -
удельные прибыли
нормы расхода - 3 2 4 3 198
2 3 1 2 96
- запасы ресурсов
6 5 1 0 228
Обозначим x1,x2,x3,x4 - число единиц 1-й,2-й,3-й,4-й продукции,
которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся
запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем
следующую математическую модель оптимального планирования:
P(x1,x2,x3,x4) =48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 --> max
3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4=0
Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавим
неотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в
равенства, в силу этого добавляемые переменные называются балансовыми.
Получается задача ЛП на максимум, все переменные неотрицательны, все
ограничения есть равенства, и есть базисный набор переменных: x5 - в 1-м
равенстве, x6 - во 2-м и x7 - в 3-м.
P(x1,x2,x3,x4)=48*x1+30*x2+29*x3+10*x4+ 0*x5+ 0*x6+ 0*x7 -->max
3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4+ x5 =198
2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4 + x6 = 96
6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4 + x7=228
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>=0
| |48 |30 |29 |10 |0 |0 |0 |Hi |
| | | | | | | | |/qis |
|С |Б |Н |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |Х5 |Х6 |Х7 | |
|0 |Х5 |198 |3 |2 |4 |3 |1 |0 |0 |66 |
|0 |Х6 |96 |2 |3 |1 |2 |0 |1 |0 |48 |
|0 |Х7 |228 |6 |5 |1 |0 |0 |0 |1 |38 |
|Р |0 |-48 |-30 |-29 |-10 |0 |0 |0 | |
|0 |Х5 |84 |0 |-0.5 |3.5 |3 |1 |0 |-0.5|24 |
|0 |Х6 |20 |0 |1.33 |0.67|2 |0 |1 |-0.3|30 |
| | | | | | | | | |3 | |
|48 |Х1 |38 |1 |0.83 |0.17|0 |0 |0 |0.17|228 |
|Р |1824 |0 |10 |-21 |-10 |0 |0 |8 | |
|29 |Х3 |24 |0 |-0.14 |1 |0.86 |0.29 |0 |-0.1| |
| | | | | | | | | |4 | |
|0 |Х6 |20 |0 |1.43 |0 |1.43 |-0.19|1 |-0.2| |
| | | | | | | | | |4 | |
|48 |Х1 |34 |1 |0.86 |0 |-0.14 |-0.05|0 |0.19| |
|Р |2328 |0 |7 |0 |8 |6 |0 |5 | |
Так как все оценочные коэффициенты неотрицательны, то получено
оптимальное решение. Оптимальное решение: x1=34, x2=0, x3=24, x4=0, x5=0,
x6=20, x7=0. Максимум целевой функции Pmax= 2328.
Ресурсы 1 и 3 являются «узким местом» производства, так как при
выполнении оптимального плана они используются полностью (без остатка).
1.2 Двойственная задача линейного программирования.
исходная задача двойственная
задача
CX-->max YB-->min
AX=0 YA>=C, Y>=0
P= 48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 -->max S= 198*y1+96*y2+228*y3 -->min
3*x1+2*x2+4*x3+3*x4=48
2*x1+3*x2+1*x3+2*x4=30
6*x1+5*x2+1*x3+0*x4=29
x1,x2,x3,x4>=0
3*y1+2*y2+0*y3>=10
y1,y2,y3>=0
Первый способ:
По первой теореме двойственности, оптимальные решения двойственной
задачи (y1,y2,y3) равны оценочным коэффициентам при балансовых переменных
последней симплекс-таблицы: у1=6, у2=0, у3=5. А экстремум двойственной
задачи Smin=2328.
Второй способ:
По второй теореме двойственности, если какая-то компонента
оптимального решения исходной задачи отлична от нуля, то соответствующее ей
ограничение двойственной задачи на ее оптимальном решении выполняется как
строгое равенство. А если какое-то из ограничений исходной задачи на ее
оптимальном решении выполняется как строгое неравенство, то соответствующая
компонента оптимального решения двойственной задачи обязательно равна нулю.
Так как балансовая переменная второго ограничения (х6) отлична от
нуля, следовательно оно выполняется на оптимальном решении как строгое
неравенство, а поэтому у2=0. Так как х1 и х3 отличны от нуля, то получаем
следующую систему уравнений:
3*у1 +6*у3 = 48
4*у1 + у3 = 29
Решая их, получаем оптимальные решения двойственной задачи: у1=6,
у2=0, у3=5.
1.3 Задача о комплектном плане.
Имеем соотношения: x3:x1= 1; x4:x2=3 или х3=х1; х4=3*х2.
Подставив эти выражения, получим задачу ЛП с двумя переменными.
77*х1 +60*х2 ( max
7*х1 +11*х2 ? 198
3*х1 + 9*х2 ? 96
7*х1 + 5*х2 ? 228
Наносим эти ограничения на плоскость х1х2 и ищем на допустимом
множестве максимум функции. Для этого строим градиент grad(77,60). Искомая
точка с координатами х1=0; х2(28.29 и максимум прибыли max(2178.
[pic]
1.4 Оптимальное распределение инвестиций.
Имеем: 4 фирмы, инвестиции в размере 700 тыс. рублей. По этим 4
фирмам их нужно распределить. Размер инвестиций кратен 100 тыс. рублей.
Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей)
выражается функцией fi(m). Приходим к задаче:
f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max
x1+x2+x3+x4=0
где xi - неизвестный размер инвестиций i-й фирме. Эта задача решается
методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное
распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m
инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой
сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 00, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль i-ой фирмы равна
W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])),где d[i]=(с-
a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать
свою прибыль.
Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77.
Тогда: p(x)=77-9*x d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8 d[2]=(с-
a[2])/b=(77-6)/9=7,89
W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))= 9*x[1]*(8-(x[1]+x[2]))
W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))= 9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2]))
Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее
выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации
прибыли:
(W[1]/ (x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) – b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-
x[2])/2=(8-x[2])/2
Аналогично для второй фирмы: x*[2]= (d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2
x*[2], x*[1] – оптимальные выпуски 1-ой и 2-ой фирм при условии, что
они знают выпуск конкурента.
Теперь предположим, что производственные циклы фирм совпадают, т.е.
a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем
производства своего конкурента за прошлый период. Предположим, что
d[1]/2=a, y>=b и хотя бы одно
из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по
Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето. Еще более
узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk -
максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой
стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как
множество тех точек множества Парето, у которых k-я координата не меньше
Vk. Для нахождения Vk на до решить две задачи ЛП:
V1-->max, a11*x+a21*(1-x)>=V1,a11*x+a12*(1-x)>=V1, 0max, a11*y+a12*(1-y)>=V2,a21*y+a22*(1-y)>=V2, 0max y/V2=x1 x1 + x2
(min
2*y+6*(1-y)>=V2, (1-y)/V2=x2 2*x1 +6*x2>=1
7*y+1*(1-y)>=V2, 7*x1 +1*x2>=1
00.2 распределение богатства называется опасно
несправедливым - это преддверие социальных волнений. Из функции d(z) можно
получить другую функцию w(z) , она сообщает долю общественного богатства,
которой владеет z-я часть самых богатых людей (w(z)=1-d(1-z)). Еще одну
функцию можно получить из d(z): S(x)=d(1/2+x)-S(1/2-x). Она показывает,
что часть общества, которая богаче, чем (Ѕ-х) самых бедных, но беднее (Ѕ-
х) самых богатых, владеет S(x)-й частью всего общественного богатства.
График функции S расположен только над отрезком [0, 1/2]. Говорят, что в
обществе есть средний класс, если d(3/4)-d(1/4)>=1/2 или, что то же самое
S(1/4)>=1/2 .
Дано: d(z)= exp((7/2)*ln(z))
[pic]
Как видно на графиках d(0,5)=0,09 ,т.е. половина самых бедных членов
общества владеет только 9% всего общественного богатства. Вычислим
коэффициент Джинни:
Ѕ - J=( 0?1 (exp(7/2*ln(z)) dz)=0,22, значит J=0,28. Так как
0,28>0,2, то распределение богатства в обществе опасно несправедливо.
s(x)= exp((7/2)*ln(1/2+х)) - exp((7/2)*ln(1/2-х))
w(z)= 1 - exp((7/2)*ln(1-z))
Так как s(0,25)=0,36 и 0,3620, то
распределение доходов в данном обществе можно считать несправедливым.