Контрольная работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Томский государственный университет систем управления

и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра Экономики

Контрольная работа

по дисциплине “Математические модели в Экономике ”

Вариант №18

Выполнил:

Студент гр. з822

________ Васенин П.К.

Проверила:

________ Сидоренко М.Г.

г. Томск 2003

Задание №1

Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как

функция

[pic]. Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти

оптимальное количество вложенного труда.

Решение:

Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*

Определим прибыль [pic]

Воспользуемся соотношением [pic] - т.е. частные производные приравняем к

нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда

[pic]

Задание №2

Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены. Найдите

равновесную

цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Решение:

Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е.

200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.

Найдём прибыль при равновесной цене:

[pic]

Найдём цену, определяющую максимум выручки:

[pic]

При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через

производную)

W (50)=50*(200-2*50)=5000

Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при

равновесной цене.

Задание №3

Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) [pic].

Решение:

1- способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является

одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В

матрице седловой точки нет.

[pic] Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:

[pic]

Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание

случайной величины W(x,y):

[pic]

Оптимальные стратегии игроков:

[pic]

2 – способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой

суммой, то для игры с матрицей [pic] оптимальные смешанные для 1 и 2

игроков и цена игры получаются из решения уравнений:

[pic]

Откуда, Оптимальные стратегии игроков:

[pic]

Задание №4

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов

прямых материальных затрат [pic] и вектор конечной продукции [pic]. Найти

коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул

обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему

межотраслевого баланса.

Решение:

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближённо,

учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

Матрица косвенных затрат первого порядка:

[pic]

Матрица косвенных затрат второго порядка:

[pic]

Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):

[pic]

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул

обращения невыраженных матриц:

Находим матрицу (E-A):

[pic]

Вычисляем определитель этой матрицы:

[pic]

Транспонируем матрицу (E-A):

[pic]

Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:

[pic]

Таким образом:

[pic]

Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

[pic]

Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные –

это произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по

точным формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта

косвенных затрат выше второго порядка.

Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину

валовой продукции:

[pic]

Схема межотраслевого баланса

|Производящие |Потребляющие отрасли |

|отрасли | |

| |1 |2 |3 |Конечная |Валовая |

|1 |2574,67 |464,32 |0 |640 |3678,1 |

|2 |1839,05 |232,16 |0 |250 |2321,6 |

|3 |0 |232,16 |3328,64 |600 |4160,8 |

|чистая |-735,62 |1392,96 |832,16 |1490 | |

|Валовая |3678,1 |2321,6 |4160,8 | |10160,5 |

Задание №5

Проверить ряд [pic] на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом

простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом

экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически,

определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени

(линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага

вперёд.

Решение:

a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для

выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда

которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической

системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает

существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и

на трендовую модель.

Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:

[pic]

[pic]Расчётные значения:

|[pic] |2,8 |2,3 |1,5 |1,3 |1,2 |1,1 |1 |

Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней

нет, т.е. [pic].

b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:

[pic]

|t |[pi|Метод простой скользящей средней,|

| |c] |[pic] |

|1 |53 |-- |

|2 |51 |-- |

|3 |52 |52 |

|4 |54 |52,3 |

|5 |55 |53,6 |

|6 |56 |55 |

|7 |55 |55,3 |

|8 |54 |55 |

|9 |56 |55 |

|10 |57 |55,6 |

c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:

[pic]

|t |[pi|Экспоненциальный метод, [pic] |

| |c] | |

|1 |53 |52,1 |

|2 |51 |51,99 |

|3 |52 |51,99 |

|4 |54 |52,19 |

|5 |55 |52,47 |

|6 |56 |52,82 |

|7 |55 |53,04 |

|8 |54 |53,14 |

|9 |56 |53,42 |

|10 |57 |53,78 |

d) Представим результаты графически:

[pic]

e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени

(линейную модель):

[pic]

Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е.

необходимо выполнение следующих условий:

a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:

[pic]

Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно

выполняться:[pic]

[pic]

| |[pic] |[pic] |[pic] | |

|1 |53 |51,97 |1,03 |-- |

|2 |51 |52,49 |-1,49 |1 |

|3 |52 |53 |-1 |0 |

|4 |54 |53,52 |0,48 |0 |

|5 |55 |54,03 |0,97 |0 |

|6 |56 |54,55 |1,45 |1 |

|7 |55 |55,06 |-0,06 |0 |

|8 |54 |55,58 |-1,58 |1 |

|9 |56 |56,09 |-0,09 |0 |

|10|57 |56,61 |0,39 |-- |

|55|543 |542,9 |0,1 |3 |

b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному

закону распределения:

[pic]

Необходимые условия:

[pic]

Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере

распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы

одно из следующих неравенств:

[pic]

то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель

признаётся неадекватной.

1)[pic]

2)[pic]

Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель

неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла.

Задание №6

Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад.

Интенсивность потока [pic], производительность пункта [pic]. Определить

вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала

заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную

способности, среднее число занятых бригад.

Решение:

Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время

использования одной заявки)

[pic]

a) Вероятность того, что оба канала свободны:

[pic]

b) Вероятность того, что один канала занят:

[pic]

c) Вероятность того, что оба канала заняты:

[pic]

d) Вероятность отказа в заявке:

[pic]

e) Относительная пропускная способность:

[pic]

f) Абсолютная пропускная способность:

[pic]

g) Среднее число занятых бригад:

[pic]