Математическое программирование

1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

[pic]

Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r ( n,

(2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20,

... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП.

Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую

функцию (2) в min или max (оптимум).

2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее

привести к определенной (симплексной) форме:

[pic](2`) f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 ( min

Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай

r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если

оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе (1`) неизвестные х1, х2, ... , хr называются базисными

(каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1),

остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется

базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а

соответствующее ему значение целевой функции f(x10, ... , xr0,0, ... ,0)

называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:

а) система (1`) удовлетворяет условиям :

1) все ограничения - в виде уравнений;

2) все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ( 0;

3) имеет базисные неизвестные;

б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :

1) содержит только свободные неизвестные;

2) все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;

3) обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max

f = - min(-f)).

3) Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует

симплекс - матрица :

1 0 ... 0 ... 0 a1,r+1 ... a1s ... a1n b1

0 1 ... 0 ... 0 a2,r+1 ... a2s ... a2n b2

.................................................................

0 0 ... 1 ... 0 ai,r+1 ... ais ... ain bi

.................................................................

0 0 ... 0 ... 1 ar,r+1 ... ars ... arn br

0 0 ... 0 ... 0 cr+1 ... cs ... cn b0

Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных )

соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х =

(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b1,b2,

... ,br, 0, ... ,0) = b0 (см. Последний столбец !).

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-

матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то

соответствующий этой матрице план оптимален,

т.е. сj ( 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.

Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец

(S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы

неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais ( 0

( i= 1,r ) => min f = -(.

Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума

надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и

следующих преобразований (симплексных):

1) все элементы i-й строки делим на элемент a+is;

2) все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;

3) все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника,

что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

[pic]

akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;

ais ais

bk` = bkais - biaks; cl` = clais - csail

ais ais

Определение. Элемент ais+ называется разрешающим, если преобразование

матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения,

целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится

разрешающий элемент, также называются разрешающими.

Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais+ удовлетворяет

условию

bi = min bk

ais0 aks0+

где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.

4. Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).

5) систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;

6) составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в

симплексной форме;

7) проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он

выполняется, то решение закончено;

8) при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия

отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение

закончено - нет оптимального плана;

9) в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для

перехода к следующей матрице, для чего :

а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи

тельных элементов целевой

строки;

б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего

элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;

6) c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к

следующей матрице;

7) вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см.

п. 3)

Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или

его отсутствие

Замечания.

1) Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем

ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-

преобразованиях.

2) преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при

этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно

ограничиться вычислением элементов последнего столбца.

3) при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений

остаются неотрицательными; появление отрицатель

ного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.

4) правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем

подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы

должны совпасть.

5. Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух

неизвестных)

Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или

многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических

образов неравенств системы. Целевая функция f = c1x1 + c2x2 геометрически

изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n

(с1,с2).

Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n

значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении -

убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.

6. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.

7) В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим

каждому неравенству системы ограничений;

8) найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить

стрелками);

9) найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений

как пересечение полуплоскостей;

10) построить вектор n (с1,с2) по коэффициентам целевой функции f = c1x1 +

c2x2;

11) в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну,

например, через начало координат;

12) перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области

решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в

противоположном направлении.

13) найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения

функции в этих точках (ответы).

Постановка транспортной задачи.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию

стоимости:

Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1, А2,

..., Аm соответственно в количествах а1, а2, ..., аm единиц, требуется

доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn

соответственно в количествах b1, b2, ..., bn единиц. Стоимость перевозки

(тариф) единицы продукта из Ai в Bj известна для всех маршрутов AiBj и

равна Cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при

котором весь груз из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов

потребления удовлетворяются (закрытая модель), а суммарные транспортные

расходы минимальны.

Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество

перевозимого груза из Ai в Bj груза Xij > 0, а в маленькие клетки -

соответствующие тарифы Cij:

[pic]

Математическая модель транспортной задачи.

Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая

модель транспортной задачи для закрытой модели [pic]

Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом

транспортной задачи. Если число заполненных клеток (Xij № 0) в таблице

равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то

план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько

нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток

было равно r.

Случай открытой модели даi № дbj легко сводится к закрытой модели путем

введения фиктивного потребителя Bn+1 c потребностью bn+1=дai-дbj, либо -

фиктивного поставщика Аm+1 c запасом am+1=дbj-дai ; при этом тарифы

фиктивных участников принимаются равными 0.

Способы составления 1-таблицы (опорного плана).

Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в

том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная)

оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо

полностью вывозиться груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность

Bj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются

запасы ai и не удовлетворяются потребности bj . В заключение проверяют, что

найденные компоненты плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным

уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.

Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге

заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший

тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая

из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

Метод потенциалов решения транспортной задачи.

Определение: потенциалами решения называются числа ai®Ai, bj®Bj,

удовлетворяющие условию ai+bj=Cij (*) для всех заполненных клеток (i,j).

Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n

неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности

одному неизвестному придают любое число (обычно a1=0), тогда все остальные

неизвестные определяются однозначно.

Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X0 транспортной

задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai+bj Ј Ci j, то

X0 является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице)

так, чтобы транспортные расходы не увеличились.

Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток,

удовлетворяющая условиям:

одна клетка пустая, все остальные занятые;

любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;

никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце

Пустой клетке присваивают знак « + », остальным - поочередно знаки « - » и

« + ».

Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала

находят незаполненную клетку (r, s), в которой ar+bs>Crs, и строят

соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{Xij}.

Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:

в плюсовые клетки добавляем X;

из минусовых клеток отнимаем Х;

все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X1) Ј f(X0);

оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов

обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда

существует.

Алгоритм метода потенциалов.

проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим

ее к закрытой;

находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из

способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа;

проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на

невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные

клетки с помощью « 0 »;

проверяем опорный план на оптимальность, для чего:

а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам;

б) находим одно из ее решений при a1=0;

в) находим суммы ai+bj=Cўij («косвенные тарифы») для всех пустых клеток;

г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не

превосходят соответствующих истинных(Cўij Ј Cij) во всех пустых клетках, то

план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ дается в

виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.

Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему

шагу.

Для перехода к следующей таблице (плану):

а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного

(Cўij= ai+bj > Cij );

б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки « + », « -

» в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке « + »;

в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij - числа в

заполненных клетках со знаком « - »;

г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из

минусовых клеток цикла

См. п. 3 и т.д.

Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо

транспортная задача всегда имеет решение.