Метод половинного деления

Министерство общего и профессионального образования

Стерлитамакский Государственный Педагогический Институт

кафедра информатики и вычислительной техники

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Метод половинного деления в школьном курсе информатики»

Работу выполнили студенты 42 группы ФМФ:

Дубовицкий Сергей и Волков Антон

Руководитель: доцент Хусаинова Г.Я.

Стерлитамак 2001

ПлАН:

Введение

Метод половинного деления 4

Задача 4

Алгоритм 6

Блок схема 7

Заключение 8

Литература 9

Приложение

Введение

Целью данной курсовой работы является раскрытие содержания темы «Метод

половинного деления» и дальнейшее ее закрепление путем выполнения

лабораторной работы и практических заданий.

Одной из главных задач в обучении является развитие творческих и

исследовательских способностей учащихся. На уроках информатики применение

компьютеров позволяет учащимся заниматься исследовательской работой при

решении задач из различных областей (например, физические, математические,

экономические задачи). При этом они должны научиться четко формулировать

задачу, решать ее и оценивать полученный результат.

Использование новых информационных технологий позволяет решать

некоторые задачи нетрадиционными способами, а также решать прикладные

задачи, которые ранее не могли рассматриваться в силу сложности

математического аппарата. Так, в школьном курсе математики учащиеся

рассматривают уравнения, которые имеют точные решения. Однако в реальной

практике решение большинства уравнений не может быть записано в явном виде.

Их решение находится только приближенными методами. Ранее способы решения

таких уравнений рассматривались после изучения одного из алгоритмических

языков. Во-первых, разрабатывали алгоритм метода решения (например,

итерации, половинного деления). Во-вторых, составляли программу и

использовали ее для получения решения и его исследования. Труднее было при

изучении темы "Моделирование", когда рассматривали задачи оптимизации.

Задачи должны были быть довольно простыми, допускающими только одну

поисковую переменную.

В школьном курсе информатики метод половинного деления изучается в 11

классе на 42 уроке при изучении раздела «Компьютерное моделирование»,

закрепляется тема на 43 уроке в виде Лабораторной работы.

Метод половинного деления

Решение алгебраического уравнения. Для численного решения

алгебраических уравнений существует множество способов. Среди самых

известных можно назвать метод Ньютона, метод Хорд, и «всепобеждающий» метод

Половинного Деления. Сразу оговоримся, что любой метод является

приближенным, и по сути дела лишь уточняющим значение корня. Однако

уточняющим до любой точности, заданной Нами.

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность

или противопоставленность двух частей целого) при нахождении корня

уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится

корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках,

и одна из границ отрезка [a; b] переносится в его середину. Переносится та

граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет.

Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из

условий: либо длина интервала [a; b] становится меньше заданной погрешности

нахождения корня ?, либо функция попадает в полосу шума ?1 – значение

функции сравнимо с погрешностью расчетов.

Сначала поставим задачу. Дана монотонная, непрерывная функция f(x),

которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с

точностью ?, если известно, что f(a)*f(b)0, то теперь точкой a станет c: a=c; Если d ?, то

идем в пункт 1) если нет, то корень с нужной нам точностью найден, и он

равен: x=(a+b)/2;

Блок- схема

Заключение

Информатике трудно существовать в школе как отдельной науке, она должна

помогать другим учебным предметам в развитии познавательного интереса к

предмету, в решении логических задач, в обработке результатов лабораторных

работ и индивидуальных практических заданий. Школьники начинают испытывать

удовлетворение, замечая, что элементы математики и информатики имеют

реальное воплощение в физических процессах.

Математика является необходимой базой, которая позволяет глубже

вникнуть в суть описываемых физических явлений и закономерностей. Hа уроках

физики развиваются и конкретизируются многие математические понятия:

функции, графики, уравнения, неравенство, производная, интеграл, вектор и

др. Это требует согласованных действий от учителя физики и математики при

формировании общих понятий.

В применении информатики к преподаванию других предметов используются в

основном две формы работы: привлечение программных средств для контроля

знаний учащихся и работа учащихся с обучающими программами. В стороне

остаются возможности составления программ самими учащимися для решения тех

или иных задач, например, из области физики. Среди методистов

распространено мнение, что подобная работа в школе возможна лишь на высоком

уровне (в специализированных классах) из-за слабой подготовки учащихся в

области программирования. Однако при согласованных действиях преподавателей

физики, математики и информатики этот недостаток может быть легко выполнен.

В частности успешным оказывается проведение уроков по теме "Движение тела

под действием силы тяжести при начальной скорости управления горизонтально

или под углом к горизонту", изучаемой в курсе физики 9 класса совместно с

учителем информатики. В курсе информатики Учащимся предлагается

лабораторная работа "Артиллериская задача". При выполнении данной работы

учитель отрабатывает навыки программирования, изучает метод дихотомии

(половинного деления). При этом приходится решать задачу физически, т.е.

возникают трудности по применению формул физики. Таким образом затмевается

главная цель урока по информатике: формирование умений и навыков решения

задач методом половинного деления с использованием ЭВМ. Поэтому здесь и

необходимо проведение интегрированных уроков по физике и информатике при

решении задач. Тем более, что в Сборник задач по физике для 9-11 классов

(переизданного в 1992 г.), автором которого является А.П. Рымкевич,

включены программируемые задачи, которые для решения требуют знаний по

физике и информатике.

Литература

1. Гейн А.Г., А.И. Сенокосов, Н.А. Юнерман «Информатика: учебное

пособие для 10-11 классов». М.: Просвещение, 2001.

2. Гейн А.Г., В.Г. Житомирский, Е.В. Линецкий, М.В. Сапир, В.Ф.

Шолохович «Основы информатики и вычислительной техники». М.:

Просвещение, 1992.

3. Симонович С., Г. Евсеев. «Практическая информатика: Учебное пособие

для средней школы. Универсальный курс». – М.: Аст-пресс: Инфорком-

пресс, 2001.

4. Сеть Internet

Приложение

Тематическое планирование уроков в 11 классе (68 часов).

|№|Тема урока |Краткое содержание |

|1|Циклическая форма |Циклы "до" и "пока". Вложенные и |

| |организации действий. |последовательные циклы. |

|2|Использование циклических |Рассмотрение таблицы предписаний для вычисления|

| |структур при вычислении |суммы произведения и количества множества |

| |суммы произведения или |чисел. |

| |количества множества | |

| |произвольных числовых | |

| |констант. | |

|3|Циклическая структура как |Решение задач, представляющих циклическую |

| |частный случай |структуру с помощью операторов IF… THEN… GOTO. |

| |разветвляющегося алгоритма.|Операторы WHILЕ и WEND. |

|4|Цикл с параметрами. |Цикл для каждого и его параметры. Операторы |

| | |FOR… TO… NEXT в цикле с параметрами. |

|5|Вводный инструктаж по ТБ. |Повторение правил ТБ для работы в компьютерном |

| | |классе. |

|6|Лабораторно-практическая |Ввод в ПК программы "Электронные часы" и |

| |работа № 1 "Разработка |исследование параметров цикла "для каждого". |

| |электронных часов на экране| |

| |компьютера". | |

|7|Закрепление уроков № 1 - 5.|Решение задач, имеющих в своей структуре один |

| | |цикл. |

|8|Лабораторно-практическая |Решение на ПК задачи, имеющих в своей структуре|

| |работа № 2 "Использование |один цикл. |

| |операторов цикла для | |

| |каждого при решении задач | |

| |на ПК". | |

|9|Закрепление уроков 1 - 5. |Решение задач, имеющих в своей структуре один |

| | |цикл. |

|1|Лабораторно-практическая |Решение на ПК задач, имеющих в своем составе |

|0|работа № 3 "Использование |только один цикл. |

| |операторов цикла для | |

| |каждого при решении задач | |

| |на ПК". | |

|1|Самостоятельная работа по | |

|1|темам уроков 1 - 5. | |

|1|Связь программирования с |Развитие графического мышления для построения |

|2|математикой. |графиков функций (на Бейсике) на экране ПК. |

|1|Лабораторно-практическая |Решение задач на ПК на построение графиков |

|3|работа № 4 "Использование |функций. |

| |операторов графики языка | |

| |Бейсик для построения | |

| |графиков на экране | |

| |монитора". | |

|1|Структурный подход к |Способы построения сложных алгоритмических |

|4|решению задач с |структур. Последовательные структуры и |

| |использованием циклов и |структуры с вложением. |

| |ветвлений. | |

|1|Переход от неструктурного |Способы перехода - размножение блоков или ввод |

|5|алгоритма к структурному. |дополнительной переменной. |

|1|Закрепление уроков 13 - 14.|Решение задач, приводящих к структурному виду |

|6| |алгоритмы, не являющиеся структурными. |

|1|Лабораторно-практическая |Решение на ПК задач, имеющих в своем составе |

|7|работа № 5 "Использование |сложные алгоритмические структуры. |

| |сложных алгоритмических | |

| |конструкций в составлении | |

| |программ на Бейсике". | |

|1|Закрепление уроков 13, 14 |Решение задач, имеющих в своем составе сложные |

|8| |алгоритмические структуры. |

|1|Контрольная работа по теме | |

|9|"Структурное | |

| |программирование". | |

|2|Табличный способ |Таблицы. Типы. Одномерный и двумерный массив. |

|0|организации данных. |Операции с массивами. |

|2|Обработка массивов на языке|Ввод массивов с помощью операций LET, INPUT, |

|1|Бейсик. |DATA-READ, задание элементов массива случайным |

| | |образом, вывод элементов массива. |

|2|Закрепление уроков 20, 21 |Решение задач на обработку массивов на Бейсике.|

|2| | |

|2|Лабораторно-практическая |Решение задач с табличной организацией числовых|

|3|работа № 6 "Обработка |данных. |

| |массивов на Бейсике". | |

|2|Закрепление уроков 20,21. |Решение задач на обработку массивов на Бейсике.|

|4| | |

|2|Лабораторно-практическая |Решение задач с табличной организацией числовых|

|5|работа № 7 "Обработка |данных. |

| |массивов на Бейсике". | |

|2|Самостоятельная работа по | |

|6|темам уроков 20 - 21. | |

|2|Обработка текстовых данных.|Действия над текстовыми величинами, операции и |

|7| |функции символьных переменных. |

|2|Закрепление уроков 27 |Решение задач на обработку текстовых данных. |

|8| | |

|2|Лабораторно-практическая |Решение задач на обработку текстовых данных. |

|9|работа № 8 "Использование | |

| |операций и функций | |

| |символьных переменных при | |

| |решении задач на ПК". | |

|3|Закрепление урока 27 |Решение задач на обработку символьных массивов.|

|0| | |

|3|Лабораторно-практическая |Решение задач на обработку символьных массивов.|

|1|работа № 9 "Обработка | |

| |символьных массивов на ПК".| |

|3|Самостоятельная работа по | |

|2|темам уроков 27 - 31. | |

|3|Сортировка числовых |"Пузырьковая" сортировка , минимаксная |

|3|массивов. |сортировка. |

|3|Закрепление урока 33. |Решение задач, включающих в себя сортировку |

|4| |данных. |

|3|Лабораторно-практическая |Решение задач на обработку данных методами |

|5|работа № 10 "Использование |сортировки. |

| |методов сортировки при | |

| |обработке данных". | |

|3|Вспомогательные алгоритмы. |Основные и вспомогательные алгоритмы. Метод |

|6|Подпрограммы. |последовательной детализации. |

|3|Закрепление урока 36. |Решение задач, включающих в себя |

|7| |вспомогательные алгоритмы. |

|3|Лабораторно-практическая |Решение задач, включающих в себя подпрограммы. |

|8|работа № 11 "Использование | |

| |подпрограмм при решении | |

| |задач на ПК". | |

|3|Определение нестандартных |Оператор DEFFEN и его назначение. Решение |

|9|функций. |значений нестандартных функций. |

|4|Лабораторно-практическая |Решение значений нестандартных функций и |

|0|работа № 12 "Использование |возможность избежания повторений одинаковых |

| |оператора DEFFN при решении|выражений в Бейсике. |

| |нестандартных функций". | |

|4|Закрепление уроков 39 - 40.|Решение задач, вычисляющих значения |

|1| |нестандартных функций и использующих |

| | |возможность избежания повторений одинаковых |

| | |выражений на Бейсике. |

|4|Метод половинного деления. |Приближенное вычисление значений непрерывных |

|2| |функций. |

|4|Лабораторно-практическая |Решение задачи по нахождению значений |

|3|работа № 13 "Использование |непрерывных функций |

| |метода половинного деления | |

| |при решении задач на ПК". | |

|4|Метод трапеций. |Приближенное вычисление определенного |

|4| |интеграла. |

|4|Лабораторно-практическая |Приближенное вычисление определенного |

|5|работа № 14 "Использование |интеграла. |

| |метода трапеций для | |

| |вычисления определенного | |

| |интеграла на ПК". | |

|4|Метод Монте-Карло. |Приближенное вычисление площадей сложных фигур.|

|6|Вычисление p методом | |

| |Монте-Карло. | |

|4|Лабораторно-практическая |Решение задач по определению площади сложных |

|7|работа № 15 "Использование |фигур. |

| |метода Монте-Карло для | |

| |вычисления площадей сложных| |

| |фигур на ПК". | |

|4|Контрольная работа. | |

|8| | |

|4|Информационные технологии. |Этапы развития информационных технологий. |

|9|Технология текстовой |Текстовый редактор, среда ТР "WORD". Режимы его|

| |информации. |работы. |

|5|Технология обработки |Графический редактор. Среда ТР "PAINT". |

|0|графической информации. |Графические примитивы, функции ГР, режимы его |

| | |работы. |

|5|Технология обработки |Электронные таблицы. Табличные процессоры. |

|1|числовой информации. |Среда ТП. Данные в ЭT "EXСEL", режимы ее работы|

| | |и системные команды. |

|5|Технология хранения, поиска|Базы данных. Информационные системы. Типы |

|2|и сортировки информации. |организации данных. |

|5|Система управления базами |СУБД, режимы работы с базами данных. |

|3|данных. | |

|5|Технология мультимедиа. |Мультимедийные приложения. Задачи |

|4| |медиасерверных систем. Аппаратные и программные|

| | |средства мультимедиа. Конфигурация мультимедиа |

| | |ПК. |

|5|Самостоятельная работа | |

|5| | |

|5|Компьютерные вирусы. |Типы вирусов в ПК, меры профилактики |

|6| |компьютерных вирусов. |

|5|Компьютерные |Средства телекоммуникаций. Серверы. Режимы |

|7|телекоммуникации. |работы серверов. |

|5|Локальные, отраслевые, |Виды сетей. Составные части ЛВС. Топологии ЛВС.|

|8|региональные и глобальные | |

| |компьютерные сети. | |

|5|Глобальная компьютерная |Сети RELCOM и INTERNET . Типология глобальной |

|9|сеть. Сеть Интернет как |сети. Компоненты процесса передачи информации |

| |пример глобальной |по глобальной сети. |

| |телекоммуникационной сети. | |

|6|Информационные ресурсы и |Сетевые технологии. Электронная почта. |

|0|сервисы сети Интернет. | |

|6|Электронная доска |Услуги электронной доски объявлений. Назначение|

|1|объявлений и |телеконференций. Содержание файловых архивов. |

| |телеконференции. Файловые | |

| |архивы и дополнительные | |

| |услуги Интернет. | |

|6|Гипертекст. Технология WWW.|Историческая справка. Текстовые графы. |

|2|Гиперсвязи и всемирная | |

| |паутина. | |

|6|Самостоятельная работа по | |

|3|темам уроков 56 - 62. | |

|6|Правовые аспекты |Авторское и имущественное право. Виды |

|4|информатики. |компьютерной преступности. |

|6|Информатизация общества. |Информационно-компьютерная революция. Концепция|

|5| |современного общества. |

|6|Контрольная работа. | |

|6| | |

|6|Анализ результатов | |

|7|контрольной работы. | |

|6|Заключительный урок в 11 |Выставление оценок за год и за курс. |

|8|кл. | |

Задачи

1. Дано уравнение 2.2х-2х=0. Найти оба корня уравнения методом

половинного деления и методом итераций.

Решение:

Интервал (а=0, b=4) на котором лежат корни находится из графика (рис.1.):

(рис.1.)

(метод половинного деления)

INPUT "Ведите погрешность"; e

a = 0: b = 2: k = 0: d = 0

start: z = 2.2 * a - 2 ^ a

div: x = (a + b) / 2

IF (b - a) / 2 0 THEN a = x: z = y ELSE b = x

GOTO div

yes: PRINT "X="; x, "K="; k

IF d = 0 THEN a = b: b = 4: d = 1: GOTO start

Результаты вычислений:

Ведите погрешность? 0.001

X= .7802734 K= 10

X= 2.400841 K= 21

2. Составить алгоритм и программу на языке Turbo Basic, которая позволяет

компьютеру угадать число, загаданное пользователем (от 1 до 64) не более,

чем за 7 попыток.

3. Задана функция у(х) = x (( ( exp(-x) - x ( 0.22.

а) Методом половинного деления опpеделить коpень уpавнения y(х) = 0 на

интеpвале (0 , 10) с точностью до 0.001.

б) Методом половинного деления найти максимум функции на интервале (0 , 10)

с точностью до 0.001 по аpгументу.

4. а) Для уравнения x3 – 3x + 3 = 0 определите два числа, образующие

“вилку” для корня этого уравнения . сколько раз придется выполнить деление

пополам для найденного вами отрезка, чтобы получить корень с точностью

0,01? А с точность 0,001?

б) Выполните задание а) для уравнения 2х=3х.

в) Выполните задание а) уравнения cos x=x.

Лабораторная работа

Компьютерным средством, с помощью которого мы будем решать задачу,

служит электронная таблица. Подготовим ее заполнение.

|A |B |C |D |

|Расстояние S |3000 |Точность |0.001 |

|Высота H |1 | |C4-B4 |

|Начальная скорость |200 | |B3^2 |

|Угол |0 |0 |(B4+C4)/2 |

| |5^2)/(2*D3)) | | |

В клетках B4 иС4 записаны значения угла (в радианах), составляющие

«вилку»; в клетке D4 – значение угла, для которого будет вычисляться

отклонение от цели. Кроме того, чтобы по нескольку раз не вычислялось одно

и оже число (а на это уходит время), в клктке D5 записан тангенс очередного

значения угла наклона пушки к горизонту, а в клетке D3 – квадрат начальной

скорости (поскольку в электронной таблице все формулы записываются в

«линейку», то и для показателя степени используется не верхний индекс, а

специальный знак - ^). С той же целью – ускорение вычислений – мы в формуле

оклонения заменили 1/cos2( на 1+tg2(. Заполнение остальных клеток понятно

из таблицы. Значение g взято 9,8 м/с2, расстояние S=3 км, а высота Н=1 м.

Точность вычисления равна 0,001.

Сначала проверим, правильно ли мы выбрали отрезок для корня. В таблице

в клетках B4 и С4 записаны нули, поэтому отклонение подсчитывается для (=0.

Как видите, на левом конце отрезка отклонение положительно.

Запишите теперь в клетках В4 и С4 число 0,75 (это – приближенное

значение для (/4). Теперь отклонение оказалось отрицательным.

1) Приступим к нахождению нужного угла (. Запишите в клетке В4 чило 0,

и электронная таблица тут же вычислит значение отклонения в точке

0,75/2.

Это значение оказалось положительным. Следовательно, значением

0,75/2 надо заменить левый конец отрезка, записанный в клетке В4.

2) Меняем 0 на значение клетки D4. Отклонение стало отрицательным.

Следовательно, надо поменять значение клетки С4 на значение клетки

D4. Действуйте!

3) Продолжайте поиск корня, пока не получится заданная точность

(напоминаем, что индикатором точности служит клетка D2, в которой

вычисляется длина текущего отрезка).

Другие варианты:

|A |B |C |D |

|Расстояние S |4000 |Точность |0.001 |

|Высота H |1 | |C4-B4 |

|Начальная скорость |220 | |B3^2 |

|Угол |0 |0 |(B4+C4)/2 |

| |5^2)/(2*D3)) | | |

II.

|A |B |C |D |

|Расстояние S |3000 |Точность |0.0001 |

|Высота H |2 | |C4-B4 |

|Начальная скорость |220 | |B3^2 |

|Угол |0 |0 |(B4+C4)/2 |

| |5^2)/(2*D3)) | | |

Ш.

|A |B |C |D |

|Расстояние S |2000 |Точность |0.01 |

|Высота H |1,5 | |C4-B4 |

|Начальная скорость |250 | |B3^2 |

|Угол |0 |0 |(B4+C4)/2 |

| |5^2)/(2*D3)) | | |

-----------------------

Конец

Вывод x,F3

|b-a|>?

a=x1

b=x1

нет

да

F1* F30

F1=f(a); F2=f(b)

Ввод а,b,?

Начало

Уточнить a,b

[pic]