Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ.

Выполнил:

Проверил:

г.Пермь 2000.

Построение математической модели прогнозирования поведения является

трудной задачей в связи с сильным влиянием политических и других проблем

(выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участников рынка…).

В основе модели лежит анализ некоторых критериев с последующим

выводом о поведении доходности и ценовых показателей. В набор критериев

входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация с

торговых площадок, экспертные оценки специалистов. Процедура

прогнозирования состоит из этапов:

1. Подготовка и предварительная фильтрация данных;

2. Аппроксимация искомой зависимости линейной функцией;

3. Моделирование погрешности с помощью линейной сети.

Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ с

использованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведения

нелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе с

нейросетями.

1-й этап. Подготовка выходных данных.

Выходными данными являются zi = yi-pi, где yi - реальное значение

прогнозируемой величины на некоторую дату, pi - рассчитанное на эту дату с

помощью линейного анализа.

2-й этап. Нормирование входных сигналов.

[pic] (1)

где xij - j-я координата некоторого критерия Xi, M[Xi] - выборочная

оценка среднего квадратичного отклонения.

3-й этап. Выбор функции активации и архитектуры нейронной сети.

Используются функции активации стандартного вида (сигмоидная,

ступенчатая), а также следующего вида:

[pic] (2)

[pic] (3)

[pic] (4)

[pic] (5)

Архитектура нейронной сети представлена на рисунке:

вектор

входных

сигналов вектор

выходн.

Вектор сигналов

входных

сигналов

Введены следующие обозначения: (j - линейные сумматоры; fj -

нелинейные функции; используемые для аппроксимации; ( - итоговый сумматор.

4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на

одном из следующих методов: обратного распространения ошибки, градиентного

спуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском.

Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине

погрешности.

5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения:

P=Pлин+Рнелин(Енелин

где Р — итоговое прогнозируемое значение, Рлин и Рнелин значение

линейного и нелинейного анализов. Енелин — погрешность полученная на этапе

нелинейного анализа.

Результаты задачи прогнозирования используются в построенной на ее

основе задаче оптимального управления инвестиционным портфелем. В основе

разработанной задачи управления идея минимизации трансакционных издержек по

переводу портфеля в класс оптимальных.

Используемый поход основан на предположениях, что эффективность

инвестирования в некий набор активов является реализацией многомерной

случайной величины, математическое ожидание которой характеризует

доходность (m={mi}i=1..n, где mi=M[Ri], i=1..n), матрица ковариаций — риск

(V=(Vij), i,j=1..n, где Vij=M[(Ri-mi)(Rj-mj)],i,j=1..n). Описанные

параметры (m,V) представляют собой оценку рынка и являются либо

прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно. Каждому вектору Х,

описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно

поставить в соответствие пару оценок: mx=(m,x), Vx=(Vx,x). Величина mx

представляет собой средневзвешенную доходность портфеля, распределение

средств в котором описывается вектором Х величина Vх (вариация портфеля

[3,5]) является количественной характеристикой риска портфеля х. Введем в

рассмотрение оператор Q, действующий из пространства Rn в пространство R2

(критериальная плоскость [3]), который ставит в соответствие вектору х пару

чисел (mx, Vx):

Q: Rn-R2 ( (x(Rn, x(((m,x),(Vx,x)). (7)

В задаче управления допустимыми считаются только стандартные

портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правда это

накладывает на вектор х два ограничения: нормирующее условие (е,х)=1, где е

– единичный вектор размерности n, и условие неотрицательности доли в

портфеле, х>=0. Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв

пространствеRn так называемый стандартный (n-1)-мерный симплекс. Обозначим

его (.

(={x(Rn((e,x)=1, x(0}

Образом симплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое

ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого

множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризует

Парето – эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора (эффективная

граница [3], [5]). Прообразом эффективной границы в пространстве Rn будет

эффективное множество портфелей [5]. Обозначим его как (. Данное множество

является выпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей также

представляет собой эффективный портфель [3].

Пусть в некоторый момент времени у нас имеется портфель,

распределение средств в котором описывается вектором х. Тогда задачу

управления можно сформулировать в следующем виде: найти такой элемент y,

принадлежащий (, что ((y,x). Иными словами, для заданной точки х требуется

найти ближайший элемент y, принадлежащий множеству (. В пространстве Rn

справедлива теорема, доказывающая существование и единственность элемента

наилучшего приближения х элементами множества ([6]. Метрика (понятие

расстояния) может быть введена следующим образом:

((x,y)=((i=1,nsup(yi-xi,0)+((i=1..nsup(xi-yi,0), (9)

где (>0 — относительная величина издержек при покупке, (>0 —

относительная величина издержек при продаже актива.

Литература

1. Сборник статей к 30-ти летию кафедры ЭК. ПГУ.

2. Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я

Всероссийская студенческая конференция «Актуальные проблемы

экономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.

3. Ивлиев СВ Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг.

Там же.

-----------------------

(